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Considere S o sólido obtido pela rotação da região mostrada na figura em torno do eixo y . Esboce uma casca cilíndrica típica e encontre sua circunferência e altura. Use cascas para encontrar o volume S . Você acha que esse método é preferível ao fatiamento? Explique.

Passo 1

Esboçando uma casca cilíndrica:

Uma típica casca cilíndrica tem uma circunferência valendo 2 π x e altura se n ⁡ x ² .

Passo 2

Calculando seu volume:

V = ∫ 0 x   2 π x se n ⁡ x ² d x

Diremos que u = x ² , e d u = 2 x d x , então, substituindo temos

V = π ∫ 0 π se n ⁡ u d u = π - cos ⁡ u 0 π = π 1 - - 1 = 2 π

Passo 3

Pelo método de fatiamento, nós primeiro iríamos localizar o ponto de máximo local ( a , b ) de y = se n ⁡ x ² usando os métodos do Capítulo 4, depois resolveríamos a equação y = se n ⁡ x ² para x em termos de y para obter as funções x = g 1 ( y ) e x = g 2 ( y ) como na figura abaixo

Finalmente, nós encontraríamos o volume usando V = π ∫ 0 b { g 1 y 2 - g 2 y 2 } d y . Usar as cascas nesse caso é bem mais fácil que usar o fatiamento.

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