Enunciado

Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva:

y = (1)/(2) x - sen x , 0 < x < 3 pi

Passo 1

Nós temos y = (1)/(2) x - sen x , 0 < x < 3 pi

Passo 2

  1. Nosso primeiro passo é calcular o domínio, que nesse caso é dado como ( 0,3 pi ) .
  2. Agora precisamos achar os interceptos. Não há intercepto em y ; intercepto x : f (x) = 0 , então: (1)/(2) x = sen x -> x tildetilde 1.9 , que pode ser encontrado usando o Método de Newton.
  3. Não há simetria.
  4. Não há assíntotas.
  5. Encontrando os intervalos de crescimento e decrescimento:
  6. f^' (x) = (1)/(2) - cos x > 0

    cos x < (1)/(2)

    (pi)/(3) < x < (5 pi)/(3) ou (7 pi)/(3) < x < 3 pi

    Sendo assim, f cresce em ((pi)/(3) , (5 pi)/(3)) e em ((7 pi)/(3) , 3 pi) e decresce em (0 , (pi)/(3)) e em ((5 pi)/(3) , (7 pi)/(3)) .

  7. Como a função decresce até (pi)/(3) e cresce novamente, esse é um ponto de mínimo. Depois cresce até (5 pi)/(3) e torna a decrescer, então esse é um ponto de máximo. Por fim, ela decresce até (7 pi)/(3) e torna a crescer, então temos outro ponto de mínimo:
  8. f ((pi)/(3)) = (pi)/(6) - (sqrt(3))/(2)

    f ((5 pi)/(3)) = (5 pi)/(6) + (sqrt(3))/(2)

    f ((7 pi)/(3)) = (7 pi)/(6) - (sqrt(3))/(2)

  9. Achando concavidades e pontos de inflexão por meio da derivada segunda:
  10. f^(' ') (x) = sen x > 0 harr 0 < x < pi ou 2 pi < x < 3 pi

    Assim, f é côncava para cima em ( 0 , pi ) e em ( 2 pi , 3 pi ) , e côncava para baixo em ( pi , 2 pi ) . Como a função troca de sinal duas vezes, há dois pontos de inflexão, um em (pi , (pi)/(2)) e outro em (2 pi , pi) .

    Passo 3

  11. O esboço da função:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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