Enunciado

Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva:

y = (sen x)/(1 + cos x)

Passo 1

Eaeee, belezinha??? Bom... A questão pede para usarmos a roteiro apresentado na seção do livro para fazer um esboço da curva da seguinte função:

y = (sen x)/(1 + cos x)

Assim, precisamos encontrar o domínio da função, interseção com eixos, limites no infinito, intervalos de crescimento, pontos críticos, fazer um estuda da concavidade e qualquer outra consideração que ajude a entender bem o comportamento da função.

Eiiita, muita coisa né??? Então vamos com calma que vai dar certo!!!

😉

Passo 2

Nosso primeiro passo é calcular o domínio.

O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de entrada para os quais a função produz um resultado válido.

Sabendo disso, é importante observar as restrições que uma função pode ter.

Analisando a nossa função, vemos que aquele cosseno não pode ser igual a - 1 pois ele geraria uma indeterminação para y .

Dessa forma, a gente sabe que cos x = - 1 quando x = ( 2 n + 1 ) pi (em que n é um inteiro).

Assim, o domínio de f é o conjunto de todos os números, exceto múltiplos inteiros ímpares de pi , isto é, todos os números reais exceto ( 2 n + 1 ) pi , em que n é um inteiro.

Passo 3

gora precisamos achar os pontos de interceptação nos eixos.

Fazendo x = 0 , temos o ponto de interceptação no eixo x = 0 :

y = (sen 0)/(1 + cos 0) :.

y = 0

Que é a origem.

Agora, fazendo y = 0 , temos:

0 = (sen x)/(1 + cos x) :.

sin x = 0 :.

x = sin^(- 1) (0) :.

x = 2 pi n

Onde n é um inteiro.

Logo, vemos que há uma periodicidade de interseção em x a cada 2 pi n .

Passo 4

A figura haverá simetria se a função for par ou ímpar.

Para isso vamos fazer f (- x) :

f (- x) = (sen (- x))/(1 + cos (- x)) :.

f (- x) = (- sen (x))/(1 + cos (x)) :.

f (- x) = - (sen (x))/(1 + cos (x)) :.

f (- x) = - f (x)

Logo, vemos que a função é ímpar e há simetria a partir do zero.

Além disso, como foi mostrado no Passo 3, o gráfico é simétrico a partir da origem e tem periodicidade de 2 pi .

Passo 5

As assíntotas verticais ocorrem quando o denominador da função se anula.

Nesse sentido, temos que quando n é um inteiro ímpar:

underset(x -> (npi)^-)(lim) f ( x ) = oo

underset(x -> (npi)^+)(lim) f ( x ) = - oo

Assim, x = n pi é uma assíntota vertical para cada inteiro ímpar n .

Não há assíntota horizontal.

Passo 6

Encontrando os intervalos de crescimento e decrescimento, a gente deriva a função e verificamos se a derivada é positiva ou negativa em relação ao intervalo:

f^' (x) = ((1 + cos x) cos x - sen x (- sen x))/((1 + cos x)^2) :.

f^' (x) = ((1 + cos x))/((1 + cos x)^2) :.

f^' (x) = (1)/((1 + cos x))

Analisando a derivada, observamos que f^' (x) > 0 para todo x exceto variáveis ímpares de pi , então f está crescendo em ( (2 k - 1) pi , 2 k pi ) para cada k inteiro.

Passo 7

Achando concavidades e pontos de inflexão por meio da derivada segunda, temos:

Fazendo a derivada segunda, encontramos:

f^(' ') (x) = (sen x)/(( 1 + cos x ) ²)

Perceba que

(sen x)/(( 1 + cos x ) ²) > 0

O que implica em:

sen x > 0

Assim, podemos concluir que:

f^(' ') (x) = (sen x)/(( 1 + cos x ) ²) > 0 -> sen x > 0 -> x in ( 2 k pi , (2 k + 1) pi )

Além disso:

f^(' ') (x) < 0 em ( (2 k - 1) , 2 pi k ) para cada k inteiro

Em outras palavras, a função tem concavidade para baixo em ((2 k - 1) , 2 pi k) para cada k inteiro, e para cima em ( 2 k pi , (2 k + 1) pi ) .

Também, tem ponto de inflexão e ( 2 k pi , 0 ) para cada k inteiro, que é quando a derivada troca o sinal.

Passo 8

Com base nessas informações, podemos esboçar a seguinte curva:

Resposta

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