Enunciado

Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva:

y = x^((5)/(3)) - 5 x^((2)/(3))

Passo 1

Nós temos a função y = f (x) = x^((5)/(3)) - 5 x^((2)/(3)) = x^((2)/(3)) ( x - 5 )

Passo 2

  1. Nosso primeiro passo é calcular o domínio. Como x pode assumir qualquer valor, D = R .
  2. Agora precisamos achar os interceptos. Intercepto y : f (0) = 0 ; intercepto x : f (x) = 0 , então, o intercepto de x é 0 e 5 , e o de y , 0 .
  3. f ( - x ) != f ( x ) , então a curva não é simétrica.
  4. Não há assíntotas, pois underset(x -> +- oo)(lim) x^((2)/(3)) ( x - 5 ) = +- oo .
  5. Encontrando os intervalos de crescimento e decrescimento:
  6. f (x) = x^((2)/(3)) ( x - 5 )

    f^' (x) = (5)/(3) x^((2)/(3)) - (10)/(3) x^((- (1)/(3))) = (5)/(3) x^(- (1)/(3)) (x - 2) > 0

    x < 0 ou x > 2

    Sendo assim, f cresce em (- oo , 0) , e em ( 2 , oo ) e decresce em (0,2) .

  7. Como a função está crescendo e após x = 0 começa a decrescer, nesse ponto há um ponto de máximo, e ela decresce e após x = 2 ela começa a crescer novamente, então em x = 2 há um ponto de mínimo.
  8. f (0) = 0

    f (2) = - 3 root(3)(4)

  9. Achando concavidades e pontos de inflexão por meio da derivada segunda:
  10. f^(' ') (x) = (10)/(9) x^(- (1)/(3)) + (10)/(9) x^(- (4)/(3)) = (10)/(9) x^(- (4)/(3)) (x + 1) > 0

    x > - 1

    Assim, temos que f é côncava para cima em ( - 1,0 ) e em ( 0 , oo ) , e côncava para baixo em ( - oo , - 1 ) . Há um ponto de inflexão em (- 1 , - 6) , quando a derivada troca o sinal.

    Passo 3

  11. Esboço da função:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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