Enunciado

Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva:

y = (sen x)/(2 + cos x)

Passo 1

Nós temos a função y = f (x) = (sen x)/(2 + cos x)

Passo 2

a . Nosso primeiro passo é calcular o domínio, que nesse caso, são todos os reais.

b . Agora precisamos achar os interceptos. Intercepto y : f (0) = 0 ; intercepto x : f (x) = 0 , então : sen x = 0 -> x = n pi .

c . f (- x) = - f ( x ) , então a curva é simétrica desde a origem, e tem periodicidade de 2 pi , então nós determinamos E e G com 0 <= x <= 2 pi .

d . Não há assíntotas.

Passo 3

e . Encontrando os intervalos de crescimento e decrescimento:

f^' (x) = (( 2 + cos x ) cos x - sen x ( - sen x ))/((2 + cos x)^2) = ((2 cos x) + cos^2 x + sen^2 x)/((2 + cos x)^2)

= (2 cos x + 1)/((2 + cos x)^2)

f^' (x) > 0 harr 2 cos x + 1 > 0 harr cos x > - (1)/(2) harr x está em (0 , (2 pi)/(3)) ou ((4 pi)/(3) , 2 pi) .

Sendo assim, f cresce em (0 , (2 pi)/(3)) , e em ((4 pi)/(3) , 2 pi) , e decresce em ((2 pi)/(3) , (4 pi)/(3)) .

f . A função cresce até (2 pi)/(3) e torna a crescer até (4 pi)/(3) , onde torna a crescer, então, temos um ponto de máximo que vale

f ((2 pi)/(3)) = ((sqrt(3))/(2))/(2 - ((1)/(2))) = (sqrt(3))/(3)

E um ponto de mínimo que vale

f ((4 pi)/(3)) = (- (sqrt(3))/(2))/(2 - ((1)/(2))) = - (sqrt(3))/(3)

g . Achando concavidades e pontos de inflexão por meio da derivada segunda:

f^(' ') (x) = ((2 + cos x)^2 (- 2 sen x) - ( 2 cos x + 1 ) 2 ( 2 + cos x ) ( - sen x ))/([ (2 + cos x)^2 ] ²)

f^(' ') (x) = (- 2 sen x ( 2 + cos x ) [ (2 + cos x) - ( 2 cos x + 1 ) ])/((2 + cos x)^4) = (- 2 sen x ( 1 - cos x ))/((2 + cos x)^3)

f^(' ') (x) > 0 harr - 2 sen x > 0 harr sen x < 0 , então x está em ( pi , 2 pi ) , sendo f côncava para cima, e f^(' ') (x) < 0 harr x está em ( 0 , pi ) , sendo f côncava para baixo. Os pontos de inflexão estão em (0,0) , ( pi , 0 ) e em ( 2 pi , 0 ) , onde a derivada troca o sinal.

Passo 4

h . Esboço da função

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva.y = x^3 + x
Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva.y = x^3 + 6 x^2 + 9 x
Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva.y = 2 - 15 x + 9 x^2 - x^3
Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva.y = 8 x^2 - x^4
a) Se f x = x / ( x 2 - 1 ) , encontre f ' ( x ) .b) Verifique que se sua resposta da parte (a) é razoável comparando os gráficos f e f ' .