Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.5 - Ex. 27
Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva:
Passo 1
Eaeee, belezinha??? Bom... A questão pede para usarmos a roteiro apresentado na seção do livro para fazer um esboço da curva da seguinte função:
Assim, precisamos encontrar o domínio da função, interseção com eixos, limites no infinito, intervalos de crescimento, pontos críticos, fazer um estuda da concavidade e qualquer outra consideração que ajude a entender bem o comportamento da função.
Eiiita, muita coisa né??? Então vamos com calma que vai dar certo!!!
😉
Passo 2
Nosso primeiro passo é calcular o domínio.
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de entrada para os quais a função produz um resultado válido.
Sabendo disso, é importante observar as restrições que uma função pode ter.
Como nossa raiz não pode ser negativa, temos que:
Além disso, temos no denominador, que não pode ser zero, então nosso domínio é .
Passo 3
Agora precisamos achar os pontos de interceptação nos eixos.
Fazendo , temos o ponto de interceptação no eixo :
Não há pontos que interceptam o eixo pois se fizermos na função, haverá uma indeterminação.
Passo 4
A figura haverá simetria se a função for par ou ímpar.
Para isso vamos fazer :
Perceba que há uma simetria ímpar!!
Passo 5
As assíntotas verticais ocorrem quando o denominador da função se anula.
Nesse sentido, temos:
E
Assim, temos é uma assíntota vertical.
Vamos ver se a função tem assíntotas horizontais:
Assim, não há assíntotas horizontais!
Passo 6
Encontrando os intervalos de crescimento e decrescimento, a gente deriva a função e verificamos se a derivada é positiva ou negativa em relação ao intervalo:
Analisando a derivada, obtemos:
Sendo assim, decresce em e em .
Passo 7
Achando concavidades e pontos de inflexão por meio da derivada segunda:
Ou seja:
ou
Então, é côncava para cima em , e , e côncava para baixo em , e em .
Há pontos de inflexão em , onde a derivada troca de sinal.
Com base nessas informações, temos o seguinte gráfico: