Enunciado

Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva:

y = (sqrt(1 - x^2))/(x)

Passo 1

Eaeee, belezinha??? Bom... A questão pede para usarmos a roteiro apresentado na seção do livro para fazer um esboço da curva da seguinte função:

y = (sqrt(1 - x^2))/(x)

Assim, precisamos encontrar o domínio da função, interseção com eixos, limites no infinito, intervalos de crescimento, pontos críticos, fazer um estuda da concavidade e qualquer outra consideração que ajude a entender bem o comportamento da função.

Eiiita, muita coisa né??? Então vamos com calma que vai dar certo!!!

😉

Passo 2

Nosso primeiro passo é calcular o domínio.

O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de entrada para os quais a função produz um resultado válido.

Sabendo disso, é importante observar as restrições que uma função pode ter.

Como nossa raiz não pode ser negativa, temos que:

1 - x^2 >= 0 :.

x^2 <= 1 :.

x <= +- 1

Além disso, temos x no denominador, que não pode ser zero, então nosso domínio é {x in R| x <= +- 1 , x != 0 } = [ - 1,0 ) uu ( 0,1 ] .

Passo 3

Agora precisamos achar os pontos de interceptação nos eixos.

Fazendo y = 0 , temos o ponto de interceptação no eixo x = 0 :

0 = (sqrt(1 - x^2))/(x) :.

1 - x^2 = 0 :.

x^2 = 1 :.

x = +- 1

Não há pontos que interceptam o eixo y pois se fizermos x = 0 na função, haverá uma indeterminação.

Passo 4

A figura haverá simetria se a função for par ou ímpar.

Para isso vamos fazer f (- x) :

f (- x) = (sqrt(1 - (- x)^2))/((- x)) :.

f (- x) = - (sqrt(1 - x^2))/(x) :.

f (- x) = - f (x)

Perceba que há uma simetria ímpar!!

Passo 5

As assíntotas verticais ocorrem quando o denominador da função se anula.

Nesse sentido, temos:

underset(x -> 0^+)(lim) (sqrt(1 - x^2))/(x) = oo

E

underset(x -> 0^-)(lim) (sqrt(1 - x^2))/(x) = - oo

Assim, temos x = 0 é uma assíntota vertical.

Vamos ver se a função tem assíntotas horizontais:

underset(x -> oo)(lim) (sqrt(1 - x^2))/(x) = underset(x -> oo)(lim) (sqrt((1)/(x^2) - (x^2)/(x^2)))/((x)/(x)) :.

underset(x -> oo)(lim) (sqrt(1 - x^2))/(x) = underset(x -> oo)(lim) (sqrt((1)/(x^2) - 1))/(1) :.

underset(x -> oo)(lim) (sqrt(1 - x^2))/(x) = sqrt(- 1)

Assim, não há assíntotas horizontais!

Passo 6

Encontrando os intervalos de crescimento e decrescimento, a gente deriva a função e verificamos se a derivada é positiva ou negativa em relação ao intervalo:

f (x) = (sqrt(1 - x^2))/(x)

f^' (x) = (((x^2)/(sqrt(1 - x^2)) - sqrt(1 - x^2)))/(x^2)

Analisando a derivada, obtemos:

- (1)/(x^2 sqrt(1 - x^2)) < 0

Sendo assim, f decresce em (- 1,0) e em ( 0,1 ) .

Passo 7

Achando concavidades e pontos de inflexão por meio da derivada segunda:

f^(' ') (x) = (2 - 3 x^2)/(x^2 (1 - x^2)^((3)/(2))) > 0

Ou seja:

- 1 < x < - sqrt((2)/(3)) ou 0 < x < sqrt((2)/(3))

Então, f é côncava para cima em (- 1 , - sqrt((2)/(3))) , e (0 , sqrt((2)/(3))) , e côncava para baixo em (- sqrt((2)/(3)) , 0) , e em (sqrt((2)/(3)) , 1) .

Há pontos de inflexão em (+- sqrt((2)/(3)) , +- (1)/(sqrt(2))) , onde a derivada troca de sinal.

Com base nessas informações, temos o seguinte gráfico:

Resposta

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