Enunciado

Use o roteiro desta seção para esboçar a curva:

y = 2 x - tan x , - (pi)/(2) < x < (pi)/(2)

Passo 1

Eaeee, belezinha??? Bom... A questão pede para usarmos a roteiro apresentado na seção do livro para fazer um esboço da curva da seguinte função:

y = 2 x - tan x , - (pi)/(2) < x < (pi)/(2)

Assim, precisamos encontrar o domínio da função, interseção com eixos, limites no infinito, intervalos de crescimento, pontos críticos, fazer um estuda da concavidade e qualquer outra consideração que ajude a entender bem o comportamento da função.

Eiiita, muita coisa né??? Então vamos com calma que vai dar certo!!!

😉

Passo 2

Nosso primeiro passo é calcular o domínio.

O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de entrada para os quais a função produz um resultado válido.

Sabendo disso, é importante observar as restrições que uma função pode ter.

No nosso caso, a questão já nos disse o domínio D , que é o intervalo - (pi)/(2) < x < (pi)/(2) , portanto:

D = (- (pi)/(2) , (pi)/(2))

Passo 3

Agora precisamos achar os pontos de interceptação nos eixos.

Fazendo x = 0 , temos o ponto de interceptação no eixo x = 0 :

y = 2 * 0 - tan 0 :.

y = 0

Que é a origem.

Agora, fazendo y = 0 , temos:

0 = 2 x - tan x :.

2 x = tan x

É muito complicarmos para nós resolvermos analiticamente essa expressão.

No entanto, se fizermos através de um método numérico (pelo método de Newton-Raphson, por exemplo) chegaremos nos seguintes resultados:

x tildetilde +- 1.17

Passo 4

A figura haverá simetria se a função for par ou ímpar.

Para isso vamos fazer f (- x) :

f (- x) = 2 (- x) - tan (- x) :.

f (- x) = - 2 x + tan x :.

f (- x) = - (2 x - tan x) :.

f (- x) = - f (x)

Logo, vemos que a função é ímpar e há simetria a partir do zero.

Passo 5

As assíntotas verticais ocorrem quando o denominador da função se anula.

Nesse sentido, temos:

underset(x -> (- (pi)/(2))^+)(lim) (2 x - tan x) = oo

underset(x -> ((pi)/(2))^-)(lim) (2 x - tan x) = - oo

Assim, as assíntotas verticais estão em x = +- (pi)/(2) .

Não há assíntotas horizontais.

Passo 6

Encontrando os intervalos de crescimento e decrescimento, a gente deriva a função e verificamos se a derivada é positiva ou negativa em relação ao intervalo:

f (x) = 2 x - tan x :.

f^' (x) = 2 - sec^2 x

Analisando a derivada, observamos que:

f^' (x) < 0 harr |sec x| > sqrt(2)

Sendo assim, f cresce em (- (pi)/(4) , (pi)/(4)) , e decresce em ((pi)/(4) , (pi)/(2)) e em ( - (pi)/(2) , - (pi)/(4) ) .

Passo 7

Como a função decresce depois cresce, e decrescente novamente, há um valor de máximo local em (pi)/(4) , e um de mínimo local em - (pi)/(4) .

f ((pi)/(4)) = (pi)/(2) - 1

f (- (pi)/(4)) = - (pi)/(2) + 1

Passo 8

Achando concavidades e pontos de inflexão por meio da derivada segunda, temos:

f^(' ') (x) = - 2 sec x sec x tan x :.

f^(' ') (x) = - 2 tan x sec^2 x :.

f^(' ') (x) = - 2 tan x ( tan^2 x + 1 )

f^(' ') (x) > 0 harr tan x < 0 harr - (pi)/(2) < x < 0 , e f^(' ') (x) < 0 harr tan x > 0 harr 0 < x < (pi)/(2) , assim, a função tem concavidade para cima em ( - (pi)/(2) , 0 ) , e concavidade para baixo em ( 0 , (pi)/(2) ) e um ponto de inflexão em (0,0) , onde a derivada troca o sinal.

Com base nessas informações, temos o seguinte gráfico:

Resposta

Resposta nos passos

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Ache f ' ( x ) . Compare os gráficos de f e f ' e use-os para explicar por que sua resposta é razoável. f x = 3 x 5 - 20 x 3 + 50 x
Ache f ' ( x ) . Compare os gráficos de f e f ' e use-os para explicar por que sua resposta é razoável. f x = e x - 5 x
Ache f ' ( x ) . Compare os gráficos de f e f ' e use-os para explicar por que sua resposta é razoável. f x = 3 x 15 - 5 x 3 + 3
Se f x = sin ⁡ x + ln ⁡ x Encontre f ' ( x ) . Verifique que sua resposta é razoável comparando os gráfico de fef ' .
Uma partícula move-se segunda a lei do movimento s = f ( t ) , t ≥ 0 , em que t é medido em segundos e s em metrosEncontre a velocidade no instante t Qual a velocidade depois de 3 s Quando a partícula