Use o roteiro desta seção para esboçar a curva.

y = 1 / (1 + e^(-x))

Passo 1

Bom galera, nesse exercício iremos esboçar a curva com base no seguinte roteiro

( A ) Domínio

( B ) Intersecções com os eixos

( C ) Simetria

( D ) Assíntotas

( E ) Intervalos de crescimento e decrescimento

( F ) Valores de máximo e mínimo locais

( G ) Concavidade e ponto de inflexão

( H ) Esboço da curva

Passo 2

( A ) Domínio

Nossa função não possui restrições em nenhum ponto, portanto seu domínio é o conjunto de números reais.

( B ) Intersecções com os eixos

No eixo y , a intersecção ocorre quando f 0 = 1 2 . Nossa função não intercepta o eixo x , devido ao fato de ser uma exponencial.

( C ) Simetria

Não há simetria no gráfico.

( D ) Assíntotas

O gráfico não possui assíntotas verticais. Isso ocorre pois em nenhum ponto de x temos o valor de y indo para ± ∞ . Em compensação, quando calculamos o limite

y = lim x → ∞ ⁡ 1 1 + e - x = 1

E o limite

y = lim x → - ∞ ⁡ 1 1 + e - x = 0

Vemos que quando x vai para ± ∞ temos um valor definido. Assim, temos assíntotas horizontais em y = 1 e em y = 0 .

Passo 3

( E ) Intervalos de crescimento e decrescimento

Derivando a função, temos

f ' x = - 1 + e - x - 2 - e - x = e - x 1 + e - x 2

f ' ( x ) é positiva em todos os valores de x . Dessa forma, nossa função está crescendo de - ∞ até .

  ( F ) Valores de máximo e mínimo locais

A função não possui pontos críticos, portanto, não possui valores de máximo e mínimo.

  ( G ) Concavidade e ponto de inflexão

Tirando a segunda derivada da função, temos

f ' ' x = 1 + e - x 2 - e - x - e - x ( 2 ) 1 + e - x - e - x 1 + e - x 2 2 = e - x ( e - x - 1 ) 1 + e - x 3

Para f ' ' x > 0 , temos

e - x - 1 < 0

Concavidade para cima quando e - x - 1 < 0

Concavidade para baixo quando e - x - 1 > 0 .

Isso ocorre pois todos os outros fatores são positivos.

( H ) Esboço da curva

Podemos então esboçar graficamente a curva

Resposta

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