Enunciado

Use o roteiro desta seção para esboçar a curva.

y = (1)/((1 + e^(- x)))

Passo 1

Bom galera, nesse exercício iremos esboçar a curva com base no seguinte roteiro

( A ) Domínio

( B ) Intersecções com os eixos

( C ) Simetria

( D ) Assíntotas

( E ) Intervalos de crescimento e decrescimento

( F ) Valores de máximo e mínimo locais

( G ) Concavidade e ponto de inflexão

( H ) Esboço da curva

Passo 2

( A ) Domínio

Nossa função não possui restrições em nenhum ponto, portanto seu domínio é o conjunto de números reais.

( B ) Intersecções com os eixos

No eixo y , a intersecção ocorre quando f (0) = (1)/(2) . Nossa função não intercepta o eixo x , devido ao fato de ser uma exponencial.

( C ) Simetria

Não há simetria no gráfico.

( D ) Assíntotas

O gráfico não possui assíntotas verticais. Isso ocorre pois em nenhum ponto de x temos o valor de y indo para +- oo . Em compensação, quando calculamos o limite

y = underset(x -> oo)(lim) (1)/((1 + e^(- x))) = 1

E o limite

y = underset(x -> - oo)(lim) (1)/((1 + e^(- x))) = 0

Vemos que quando x vai para +- oo temos um valor definido. Assim, temos assíntotas horizontais em y = 1 e em y = 0 .

Passo 3

( E ) Intervalos de crescimento e decrescimento

Derivando a função, temos

f^' (x) = - (1 + e^(- x))^(- 2) (- e^(- x)) = (e^(- x))/((1 + e^(- x))^2)

f^' ( x ) é positiva em todos os valores de x . Dessa forma, nossa função está crescendo de - oo até oo .

( F ) Valores de máximo e mínimo locais

A função não possui pontos críticos, portanto, não possui valores de máximo e mínimo.

( G ) Concavidade e ponto de inflexão

Tirando a segunda derivada da função, temos

f^(' ') (x) = ((1 + e^(- x))^2 (- e^(- x)) - e^(- x) ( 2 ) (1 + e^(- x)) (- e^(- x)))/(((1 + e^(- x))^2)^2) = (e^(- x) ( e^(- x) - 1 ))/((1 + e^(- x))^3)

Para f^(' ') (x) > 0 , temos

e^(- x) - 1 < 0

Concavidade para cima quando e^(- x) - 1 < 0

Concavidade para baixo quando e^(- x) - 1 > 0 .

Isso ocorre pois todos os outros fatores são positivos.

( H ) Esboço da curva

Podemos então esboçar graficamente a curva

Resposta

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