Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.5 - Ex. 52
Use o roteiro desta seção para esboçar a curva.
Passo 1
Bom galera, nesse exercício iremos esboçar a curva com base no seguinte roteiro
Domínio
Intersecções com os eixos
Simetria
Assíntotas
Intervalos de crescimento e decrescimento
Valores de máximo e mínimo locais
Concavidade e ponto de inflexão
Esboço da curva
Passo 2
Domínio
Nossa função está definida em , pois há uma indeterminação no e a função não está definida nos valores negativos de .
Intersecções com os eixos
No eixo , a intersecção ocorre em . Assim, não há interseção no eixo . Nossa função intercepta o eixo em .
Assim, ocorre interseção no eixo em .
Simetria
Não há simetria no gráfico.
Assíntotas
Quando calculamos o limite
Dessa forma, em temos uma assíntota vertical.
Ao calcular o limite
Dessa forma, em temos uma assíntota horizontal.
Passo 3
Intervalos de crescimento e decrescimento
Derivando a função, temos
para
Ou
Assim, nossa função está crescendo entre e decrescendo entre .
Valores de máximo e mínimo locais
A função possui como ponto crítico, portanto,
Que é um ponto de máximo local.
Concavidade e ponto de inflexão
Tirando a segunda derivada da função, temos
para . Assim, temos
Ou
Concavidade para cima quando
Concavidade para baixo quando .
Isso ocorre pois todos os outros fatores são positivos.
O ponto de inflexão é .
Esboço da curva
Podemos então esboçar graficamente a curva