Enunciado

Use o roteiro desta seção para esboçar a curva.

y = (ln x)/(x^2)

Passo 1

Bom galera, nesse exercício iremos esboçar a curva com base no seguinte roteiro

( A ) Domínio

( B ) Intersecções com os eixos

( C ) Simetria

( D ) Assíntotas

( E ) Intervalos de crescimento e decrescimento

( F ) Valores de máximo e mínimo locais

( G ) Concavidade e ponto de inflexão

( H ) Esboço da curva

Passo 2

( A ) Domínio

Nossa função está definida em x > 0 , pois há uma indeterminação no 0 e a função l n não está definida nos valores negativos de x .

( B ) Intersecções com os eixos

No eixo y , a intersecção ocorre em f (0) . Assim, não há interseção no eixo y . Nossa função intercepta o eixo x em f (x) = 0 .

(ln x)/(x^2) = 0

x = e^0

x = 1

Assim, ocorre interseção no eixo x em x = 1 .

( C ) Simetria

Não há simetria no gráfico.

( D ) Assíntotas

Quando calculamos o limite

underset(x -> 0 +)(lim) f ( x ) = - oo

Dessa forma, em x = 0 temos uma assíntota vertical.

Ao calcular o limite

underset(x -> oo)(lim) f ( x ) = 0

Dessa forma, em y = 0 temos uma assíntota horizontal.

Passo 3

( E ) Intervalos de crescimento e decrescimento

Derivando a função, temos

f^' (x) = (x^2 ((1)/(x)) - 2 x ( ln x ))/(x^4) = (1 - 2 ( ln x ))/(x^3)

f^' (x) > 0 para 1 - 2 ( ln x ) > 0

ln x > (1)/(x)

Ou

x > e^((1)/(2))

Assim, nossa função está crescendo entre ( 0 , e^((1)/(2)) ) e decrescendo entre ( e^((1)/(2)) , oo ) .

( F ) Valores de máximo e mínimo locais

A função possui e^((1)/(2)) como ponto crítico, portanto,

f (e^((1)/(2))) = (1)/(2 e)

Que é um ponto de máximo local.

( G ) Concavidade e ponto de inflexão

Tirando a segunda derivada da função, temos

f^(' ') (x) = (x^3 ((- 2)/(x)) - (1 - 2 (ln x)) ( 3 x^2 ))/((x^3)^2) = (- 5 + 6 ( ln x ))/(x^4)

f^(' ') (x) > 0 para - 5 + 6 (ln x) > 0 . Assim, temos

- 5 + 6 (ln x) > 0

ln x > (5)/(6)

Ou

x > e^((5)/(6))

Concavidade para cima quando x > e^((5)/(6))

Concavidade para baixo quando x < e^((5)/(6)) .

Isso ocorre pois todos os outros fatores são positivos.

O ponto de inflexão é (e^((5)/(6)) , f ( e^((5)/(6)) )) = (e^((5)/(6)) , (5)/(6 e^((5)/(3)))) .

( H ) Esboço da curva

Podemos então esboçar graficamente a curva

Resposta

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