Enunciado

Use o roteiro desta seção para esboçar a curva.

y = e^(2 x) - e^x

Passo 1

Bom galera, nesse exercício iremos esboçar a curva com base no seguinte roteiro

( A ) Domínio

( B ) Intersecções com os eixos

( C ) Simetria

( D ) Assíntotas

( E ) Intervalos de crescimento e decrescimento

( F ) Valores de máximo e mínimo locais

( G ) Concavidade e ponto de inflexão

( H ) Esboço da curva

Passo 2

( A ) Domínio

Nossa função não possui restrições em nenhum ponto, portanto seu domínio é o conjunto de números reais.

( B ) Intersecções com os eixos

No eixo y , a intersecção ocorre quando f (0) = 0 . No eixo x , nossa função intercepta o eixo quando

f (x) = 0

e^(2 x) - e^x = 0

e^(2 x) = e^x

Dividindo ambos os lados por e^x , temos

e^x = 1

e^x = 1 quando x = 0 . Dessa forma, nossa função intercepta o eixo x quando x = 0 .

( C ) Simetria

Não há simetria no gráfico.

( D ) Assíntotas

O gráfico não possui assíntotas verticais. Isso ocorre pois em nenhum ponto de x temos o valor de y indo para +- oo . Quando x -> oo , não temos nossa função se aproximando de nenhum valor. Porém,

underset(x -> - oo)(lim) e^(2 x) - e^x = 0

Então, temos em y = 0 uma assíntota horizontal.

Passo 3

( E ) Intervalos de crescimento e decrescimento

Derivando a função, temos

f^' (x) = 2 e^(2 x) - e^x = e^x ( 2 e^x - 1 )

Dessa forma, f^' (x) > 0 quando 2 e^x - 1 > 0 .

2 e^x > 1

e^x > (1)/(2) o u x > ln (1)/(2)

Então, f ( x ) está crescendo no intervalo (ln (1)/(2) , oo) e decrescendo no intervalo (- oo , ln (1)/(2)) .

( F ) Valores de máximo e mínimo locais

A função só possui um ponto crítico, que é ln (1)/(2) . Aplicando ln (1)/(2) na nossa função, temos

f (ln (1)/(2)) = e^(2 ln (1)/(2)) - e^(ln (1)/(2)) = ((1)/(2))^2 - ((1)/(2)) = - (1)/(4)

E é um valor de mínimo local. Não há valor de máximo local.

( G ) Concavidade e ponto de inflexão

Tirando a segunda derivada da função, temos

f^(' ') (x) = 4 e^(2 x) - e^x = e^x ( 4 e^x - 1 )

Dessa forma, f^' (x) > 0 quando 4 e^x - 1 > 0 .

4 e^x > 1

e^x > (1)/(4) o u x > ln (1)/(4)

Concavidade para baixo quando f está entre (- oo , ln (1)/(4))

Concavidade para cima quando f está entre (ln (1)/(4) , oo) .

Isso ocorre pois todos os outros fatores são positivos.

O ponto de inflexão é (ln (1)/(4) , f ( ln (1)/(4) )) = (ln (1)/(4) , - (3)/(16))

( H ) Esboço da curva

Podemos então esboçar graficamente a curva

Resposta

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