Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.5 - Ex. 46
Use o roteiro desta seção para esboçar a curva.
Passo 1
Bom galera, nesse exercício iremos esboçar a curva com base no seguinte roteiro
Domínio
Intersecções com os eixos
Simetria
Assíntotas
Intervalos de crescimento e decrescimento
Valores de máximo e mínimo locais
Concavidade e ponto de inflexão
Esboço da curva
Passo 2
Domínio
Nossa função não possui restrições em nenhum ponto, portanto seu domínio é o conjunto de números reais.
Intersecções com os eixos
No eixo , a intersecção ocorre quando . No eixo , nossa função intercepta o eixo quando
Dividindo ambos os lados por , temos
quando . Dessa forma, nossa função intercepta o eixo quando .
Simetria
Não há simetria no gráfico.
Assíntotas
O gráfico não possui assíntotas verticais. Isso ocorre pois em nenhum ponto de temos o valor de indo para . Quando , não temos nossa função se aproximando de nenhum valor. Porém,
Então, temos em uma assíntota horizontal.
Passo 3
Intervalos de crescimento e decrescimento
Derivando a função, temos
Dessa forma, quando .
Então, está crescendo no intervalo e decrescendo no intervalo .
Valores de máximo e mínimo locais
A função só possui um ponto crítico, que é . Aplicando na nossa função, temos
E é um valor de mínimo local. Não há valor de máximo local.
Concavidade e ponto de inflexão
Tirando a segunda derivada da função, temos
Dessa forma, quando .
Concavidade para baixo quando está entre
Concavidade para cima quando está entre .
Isso ocorre pois todos os outros fatores são positivos.
O ponto de inflexão é
Esboço da curva
Podemos então esboçar graficamente a curva