Enunciado

Use o roteiro desta seção para esboçar a curva:

y = x (x - 4)^3

Passo 1

Opa! Bora esboçar a curva:

x (x - 4)^3

y = x (x - 4)^3

O primeiro passo é definir o domínio D de f , isto é, o conjunto dos valores de x para os quais f ( x ) está definida. Analisando a equação, vemos que o domínio de x são os números reais:

D = I R

Passo 2

Agora devemos definir as intersecções com os eixos. Para o eixo y a interseção é dada por f ( 0 ) e para o eixo x fazemos y = 0 e isolamos o x .

Assim, temos que:

f (0) = 0 (0 - 4)^3 = 0

Agora a interseção com o eixo x :

0 = x (x - 4)^3

x = 0 e (x - 4)^3 = 0

x - 4 = 0 => x = 4

Já podemos colocar esses pontos no nosso gráfico:

Passo 3

Devemos verificar se a função possui simetria. Temos três casos:

  1. Se f (- x) = f ( x ) para todo x em D , f é uma função par e a curva é simétrica em relação ao eixo y . Caso isso ocorra basta refletir a curva x >= 0 em torno do eixo y para obter a curva completa.
  2. Se f (- x) = - f (x) para todo x em D , f é uma função ímpar e é simétrica em relação à origem. Caso isso ocorra basta girar a curva x >= 0 em 180 g r a u s em torno da origem para obter a curva completa.
  3. Se f (x + p) = f ( x ) para todo x em D , onde p é uma constante positiva, f é uma função periódica e o menor desses números p é chamado de período. Caso isso ocorra pode-se usar a translação de um período para esboçar o gráfico inteiro.

Para esta função, tomando x = 1 :

  1. f (- 1) = f (1) => (- 1) (- 1 - 4)^3 = 1 (1 - 4)^3 => 125 != - 27
  2. f (- 1) = - f (1) => (- 1) (- 1 - 4)^3 = - ( 1 (1 - 4)^3 => 125 != 27
  3. Não possui período.

Logo como não satisfaz nenhum caso, não possui simetria.

Passo 4

Devemos verificar agora se a função f possui assíntotas:

  1. Assíntota horizontal:
  2. Se f (x) = L e f (x) = L , então a reta y = L é uma assíntota horizontal da curva y = f ( x ) .

    Se resultar que f (x) = oo ( o u - oo ) , então não temos uma assíntota à direita.

  3. Assíntota vertical: a reta x = a é uma assíntota vertical se pelo menos uma das seguintes afirmativas for verdadeira:

f (x) = oo f (x) = oo

f (x) = - oo f (x) = - oo

Temos:

x (x - 4)^3 = oo

E para este caso não temos nenhuma assíntota vertical, logo não há assíntotas.

Passo 5

O próximo passo é definir os intervalos de crescimento ou decrescimento da função. Calculamos f ' ( x ) e encontramos os intervalos nos quais f ' ( x ) é positiva ( f é crescente) e os intervalos nos quais f ' ( x ) é negativa ( f é decrescente) .

Aplicando a regra do produto, temos:

f^' (x) = 1 (x - 4)^3 + 3 x (x - 4)^2

f^' (x) = (x - 4)^2 [3 x + (x - 4)]

= (x - 4)^2 (4 x - 4) = 4 (x - 1) (x - 4)^2 > 0 => x > 1

Logo, f é crescente para (1 , oo) e decrescente para ( - oo , 1 ) .

Passo 6

Calcularemos agora os pontos críticos, números c em que f ' (c) = 0 ou f^' (c) n ã o e x i s t e . Aplicando o Teste da Derivada, se f ' ( x ) muda de positiva para negativa em um número crítico c , então f ( c ) é um máximo local. Se f ' ( x ) muda de negativa para positiva em c , então f ( c ) é um mínimo local. Temos que:

f^' (x) = (x - 4)^2 [3 x + (x - 4)]

Reorganizando:

f^' (x) = 4 (x - 1) (x - 4)^2 = 0

x - 1 = 0 e (x - 4)^2 = 0

x^' = 1 e x^(' ') = 4

Analisamos agora um ponto antes e outro depois de cada ponto crítico para saber o sinal em que a função assume e assim se cresce ou decresce.

Para x = 0 :

y = 0 (0 - 4)^3 = 0

Para x = 1

y = 1 (1 - 4)^3 = - 27

Para x = 2

y = 2 (2 - 4)^3 = - 16

Ou seja, antes de x = 1 a função decresce e depois ela cresce. Observe que em x = 4 já encontramos no passo 2 que ele intercepta o eixo y , logo somente 1 é um ponto crítico.

Passo 7

Calcularemos agora a concavidade da função f utilizando f ' ' ( x ) . Se f^(' ') (x) > 0 a função é côncava para cima e se f^(' ') (x) < 0 a função é côncava para baixo.

Assim temos que:

f^(' ') (x) => (4 (x - 1) (x - 4)^2)^' = 4 (x - 4)^2 + 8 (x - 4) (x - 1) =

= 4 (x - 4) [2 (x - 1) + (x - 4)] = 4 (x - 4) (3 x - 6) =

= 12 (x - 4) (x - 2) < 0 => 2 < x < 4

Então f é côncava para baixo com x no intervalo de ( 2,4 ) e côncava para cima com x nos intervalos ( - oo , 2 ) e ( 4 , + oo ) .

Passo 8

Por fim, esboçando a curva obtemos:

Resposta

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