Enunciado

Represente graficamente as equações dos Exercícios 9-58 seguindo os passos do procedimento para construção de gráficos da página 237. Inclua as coordenadas de quaisquer pontos extremos e absolutos locais e pontos de inflexão.

39-

y = 16 - x 2

Passo 1

Fazendo a primeira derivada temos:

y ' = 1 2 16 - x 2 × - 2 x = - x 16 - x 2

Fazendo a derivada segunda:

y ' ' = - x ' 16 - x 2 - x ( 16 - x 2 ) ' 16 - x 2

Resolvendo a regra do quociente

y ' ' = - 16 - x 2 - x × - x 16 - x 2 16 - x 2

y ' ' = - 16 - x 2 + x 2 16 - x 2 16 - x 2 = - 16 16 - x 2 3 2

Passo 2

Achar os pontos críticos da função, isso é, quando y ' = 0 . Ou o numerador igual a zero.

x = 0

Porém a parcela dentro do denominador não pode ser negativa, o que nos dará os limites máximo e mínimo da função :

16 - x 2 > 0 ∴ 16 > x 2 ∴ x < ± 4

Passo 3

Achado os pontos limites e críticos da nossa função vamos ver se eles são pontos máximos e mínimos e se temos pontos de inflexão. Ao testar esses valores na derivada segunda.

Para x = 0 :

y ' ' 0 = - 16 16 - 0 2 3 2 = - 16 64 = - 0.25 → n e g a t i v o

Logo x=0 é máximo local e tem concavidade para baixo

Para x = ±   4 se fizermos o teste da derivada segunda nós acharíamos - ∞ o que acusaria que esses pontos são máximos locais tais como para x=0, o que não está errado (depois que plotar o gráfico dará para ver melhor mas para ter certeza que esse ponto está acima ou abaixo de y ( 0 ) teríamos que aplicar o limite de x tendendo a esses números na função , pois então:

lim x → 4 ⁡ 16 - x 2 = 0

y para x = 0

y 0 = 16 - 0 2 = 4

Então y ( 0 ) é máximo absoluto

Como o numerador da derivada segunda não tem nenhuma variável x, podemos dizer que ela nunca será zero, logo não tem pontos de inflexão .

Passo 4

Como já descobrimos seus limites, não precisamos fazer teste de assíntota. Basta agora organizarmos seus intervalos e verificarmos suas concavidades para podermos traçarmos seu gráfico.

Podemos testar com valores de x iguais a -1 e 1

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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