Enunciado

Use os seguintes passos para demonstrar (17).

  1. Seja g x = ∑ n = 0 ∞ k n x n . Derive esta série para mostrar que
  2. g ' x = k g ( x ) 1 + x                             - 1 < x < 1

  3. Faç   h x = 1 + x - k g ( x ) a e mostre que h ' x = 0
  4. Deduza que g x = 1 + x k

Passo 1

  1. Como o enunciado pede, vamos derivar
  2. g x = ∑ n = 0 ∞ k n x n = 1 + k x + k k - 1 2 ! x 2 + k k - 1 k - 2 3 ! x 3 + …

    Como tudo que sai de k n é constante

    g ' x = ∑ n = 0 ∞ k n n x n - 1 = 0 + k + k k - 1 2 ! 2 x + k k - 1 k - 2 3 ! 3 x 2 + …

    = k + k k - 1 x + k k - 1 k - 2 2 ! x 2 + …

    Passo 2

    Como queremos provar

    g ' x = k g ( x ) 1 + x

    Podemos provar que 1 + x g ' x = k g ( x ) , que chegamos na mesma conclusão.

    1 + x g ' x = g ' x + x g ' x

    = k + k k - 1 x + k k - 1 k - 2 2 ! x 2 + …

    + x k + k k - 1 x + k k - 1 k - 2 2 ! x 2 + …

    = k + k k - 1 x + k k - 1 k - 2 2 ! x 2 + …

    + k x + k k - 1 x 2 + k k - 1 k - 2 2 ! x 3 + …

    Se somarmos termos com potencias de x iguais

    = k + k k - 1 x + k x + k k - 1 k - 2 2 ! x 2 + k k - 1 x 2 + …

    Para x 1 podemos colocar k em evidencia

    k k - 1 x + k x = k k - 1 + 1 x = k 2 x

    Para x 2 podemos colocar k ( k - 1 ) em evidencia

    k k - 1 k - 2 2 ! x 2 + k k - 1 x 2 = k k - 1 k - 2 2 + 1 x 2

    k k - 1 k - 2 + 2 2 x 2 = k 2 k - 1 x 2 2

    Substituindo na série

    = k + k k - 1 x + k x + k k - 1 k - 2 2 ! x 2 + k k - 1 x 2 + …

    = k + k 2 x + k 2 k - 1 x 2 2 + …

    Colocando k em evidencia

    = k 1 + k x + k k - 1 2 x 2 + … = k ∑ n = 0 ∞ k n x n = k g ( x )

    Então provamos que

    g ' x = k g ( x ) 1 + x

    Passo 3

  3. Para derivar h x = 1 + x - k g ( x ) vamos usar a regra do produto e a relação que provamos no item anterior
  4. h ' x = - k 1 + x - k - 1 g x + 1 + x - k k g ( x ) 1 + x

    = - k g x 1 + x k + 1 + k g x 1 + x k + 1 = 0

    Passo 4

  5. Como no item (b) nós provamos que h ' x = 0 para todo x , podemos concluir que h x = c , onde c é uma constante real.

Usando o fato de que

h x = 1 + x - k g ( x )

Calculando com x = 0

h 0 = 1 + 0 - k g ( 0 )

h 0 = 1 ⋅ g ( 0 )

E podemos calcular g 0 = 1 utilizando a série de g ( x ) , então

h 0 = 1

Como h ( x ) é constante para todo x

h x = 1

Usando isso, vamos voltar para h x = 1 + x - k g ( x ) e substituir o que achamos

1 + x - k g x = 1

g x 1 + x k = 1

g x = 1 + x k

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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