Enunciado

Use a série de Maclaurin de sen ⁡ x para calcular sen ⁡ 3 ° com precisão de cinco casas decimais.

Passo 1

Vamos dizer que f x = sen ⁡ x , para saber o x real que queremos vamos fazer uma regra de 3

180 ° → π

3 ° → x

180 x = 3 π

x = 3 π 180 = π 6 0

Queremos então calcular f π 60 com precisão de cinco casas, podemos usar a desigualdade de Taylor para calcular o erro e acharmos para qual n temos um erro menor que 10 - 5 .

A desigualdade de Taylor diz que se f n + 1 ( x ) ≤ M , então

R n x ≤ M n + 1 ! x - a n + 1

Como a série de Maclaurin tem centro 0

R n x ≤ M n + 1 ! x n + 1

Passo 2

Podemos notar que f n x é sempre | sen ⁡ x | ou | cos ⁡ x | , então como o intervalo dessas funções é limitado, podemos dizer que f n x ≤ 1 , então podemos usar

M = 1

Subsituindo na desigualdade

R n x ≤ 1   n + 1 ! x n + 1

Agora podemos substituir o nosso ponto x = π 60

R n x ≤ 1   n + 1 ! π 60 n + 1

Passo 3

Vamos testando valores de n até achar um R n x ≤ 10 - 5 .

Para n = 2

R 2 π 60 ≤ 1   3 ! π 60 3 = 2,4 × 10 - 5

Para n = 3

R 3 π 60 ≤ 1   4 ! π 60 4 = 3,1 × 10 - 7

Pronto, achamos que R 3 π 60 < 10 - 5 , então precisamos de no mínimo n = 3 para a precisão pedida.

Passo 4

Temos então que

T 3 x = x - x 3 3 !

E podemos aproximar sen ⁡ 3 ° como sendo

sen ⁡ 3 ° ≈ T 3 π 60

sen ⁡ 3 ° ≈ 0,05233

Resposta

sen ⁡ 3 ° ≈ 0,0523 3

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