Enunciado

Encontre a série de Maclaurin de f (por qualquer método) e seu raio de convergência. Trace f e seus primeiros polinômios de Taylor na mesma tela. O que você observa sobre a relação entre esses polinômios e f ?

f x = ln ⁡ ( 1 + x 2 )

Passo 1

Derivando a função

f ' x = 2 x 1 + x 2 = 2 x 1 - ( - x 2 ) = 2 x ∑ n = 0 ∞ - x 2 n

= 2 x ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n

Temos a igualdade

f ' x = 2 ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1

Integrando dos dois lados

f x = 2 ∑ n = 0 ∞ - 1 n ∫ x 2 n + 1 d x

f x = C + 2 ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 2 2 n + 2

Substituindo x = 0 temos que a função

f 0 = ln ⁡ 1 + 0 = 0

Na igualdade então

f 0 = C + 2 ( 0 )

C = 0

Então temos que

f x = 2 ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 2 2 n + 2

Podemos ainda colocar 2 em evidencia no denominador e cancelar com o 2 de fora

f x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 2 n + 1

= x 2 - x 4 2 + x 6 3 - x 8 4 + …

Passo 2

O enunciado pede para traçarmos f e os primeiros polinômios de Taylor ( T n ) que são nada mais que você pegar a série somente até um certo termo, então os primeiros polinômios são

T 2 ( x ) = x 2

T 4 x = x 2 - x 4 2

T 6 x = x 2 - x 4 2 + x 6 3

T 8 x = x 2 - x 4 2 + x 6 3 - x 8 4

E assim podemos continuar até onde quisermos.

Passo 3

Traçando f e os primeiros polinômios de Taylor

Podemos ver que quanto maior o polinômio que pegamos (maior n em T n ), maior a precisão em um raio maior.

Resposta

f x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 2 n + 1

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