Enunciado

  1. Use a série binomial para expandir 1 / 1 + x 2 .
  2. Use a parte a) para encontrar a série de Maclaurin para senh - 1 ⁡ x .

Passo 1

Precisamos começar relembrando como podemos escrever uma série binomial. Portanto, seja f x = 1 + x k , então,

f x = 1 + x k = ∑ n = 0 ∞ k n x n

Portanto, nosso primeiro passo é escrever a função da questão como esta função f , identificando cada um dos termos. Logo,

f x = 1 1 + x 2 = 1 + x 2 - 1 / 2

Agora, vamos substituir os valores k = - 1 / 2 e no lugar de x colocar x 2 na série.

f x = ∑ n = 0 ∞ - 1 2 n x 2 n

Agora, precisamos expandir esse termo binomial e descobrir o padrão.

Passo 2

Vamos começar a expandir o termo binomial e entender o padrão dele.

- 1 2 0 = 1

- 1 2 1 = - 1 2 1 = - 1 2

- 1 2 2 = - 1 2 ⋅ - 1 2 - 1 2 = 1 ⋅ 3 2 2 ⋅ 2

- 1 2 3 = - 1 2 ⋅ - 1 2 - 1 ⋅ - 1 2 - 2 3 ⋅ 2 = - 1 ⋅ 3 ⋅ 5 2 3 ⋅ 3 ⋅ 2

- 1 2 4 = - 1 2 ⋅ - 1 2 - 1 ⋅ - 1 2 - 2 ⋅ - 1 2 - 3 4 ⋅ 3 ⋅ 2 = 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 2 4 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2

- 1 2 5 = - 1 2 ⋅ - 1 2 - 1 ⋅ - 1 2 - 2 ⋅ - 1 2 - 3 ⋅ - 1 2 - 4 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 = - 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 9 2 5 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2

Portanto, o padrão para n ≥ 1 é:

- 1 2 n = - 1 n 1 ⋅ 3 ⋅ … ⋅ 2 n - 1 2 n ⋅ n !

Sendo assim, a nossa série é

f x = ∑ n = 0 ∞ - 1 2 n x 2 n = 1 + ∑ n = 1 ∞ - 1 n 1 ⋅ 3 ⋅ … ⋅ 2 n - 1 2 n ⋅ n ! x 2 n

f x = 1 + ∑ n = 1 ∞ - 1 n 1 ⋅ 3 ⋅ … ⋅ 2 n - 1 2 n ⋅ n ! ⋅ x 2 n

E esta é a nossa série.

Passo 3

Agora que a gente resolveu a letra a), podemos partir para a letra b).

Um questionamento surge ao lermos o que a letra b): qual o motivo da questão pedir para usarmos a série que obtivemos na letra a) para explicar uma função totalmente diferente? Como assim???

Pois é, tudo no final tem um sentido. E, para esta questão, esse sentido é dado quando colocamos a palavra derivada junto de tudo.

A relação entre a função da letra a) com a da letra b) é dada por:

d d x senh - 1 ⁡ x = 1 1 + x 2

senh - 1 ⁡ x = ∫ 1 1 + x 2 d x = ∫ 1 + ∑ n = 1 ∞ - 1 n 1 ⋅ 3 ⋅ … ⋅ 2 n - 1 2 n ⋅ n ! ⋅ x 2 n d x

senh - 1 ⁡ x = C + x + ∑ n = 1 ∞ - 1 n 1 ⋅ 3 ⋅ … ⋅ 2 n - 1 2 n ⋅ n ! ⋅ x 2 n + 1 2 n + 1  

Cuidado para não se esquecerem dessa constante C ! Resolvemos uma integral indefinida, então sempre colocamos a constante! Mas é assim que vamos terminar a questão? Sem determinar a constante?

Claro que não! Vamos utilizar algum valor fácil que a gente conhece para descobrir quem é esse C . E que tal x = 0 ? Esse valor é perfeito para isso, pois:

senh - 1 ⁡ 0 = C + 0 + ∑ n = 1 ∞ - 1 n 1 ⋅ 3 ⋅ … ⋅ 2 n - 1 2 n ⋅ n ! ⋅ 0 2 n + 1 2 n + 1   = 0

senh - 1 ⁡ 0 = C + ∑ n = 1 ∞ 0   = 0

senh - 1 ⁡ 0 = C   = 0

C = 0

Que massa né! E por então, a nossa série é:

senh - 1 ⁡ x = x + ∑ n = 1 ∞ - 1 n 1 ⋅ 3 ⋅ … ⋅ 2 n - 1 2 n ⋅ n ! ⋅ x 2 n + 1 2 n + 1  

Resposta

  1. f x = 1 + ∑ n = 1 ∞ - 1 n 1 ⋅ 3 ⋅ … ⋅ 2 n - 1 2 n ⋅ n ! ⋅ x 2 n

senh - 1 ⁡ x = x + ∑ n = 1 ∞ - 1 n 1 ⋅ 3 ⋅ … ⋅ 2 n - 1 2 n ⋅ n ! ⋅ x 2 n + 1 2 n + 1  

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