Enunciado

Use a série binomial para expandir a função como uma série de potência. Espeficique o raio de convergência.

Passo 1

Nesse exercício iremos analisar a função:

f x = 8 + x 3

Podemos reescrever a função através da série binomial como:

8 1 + x 8 3 = 2 1 + x 8 1 / 3

= 2 ∑ n = 0 ∞ 1 3 n x 8 n

= 2 1 + 1 3 x 8 + 1 3 - 2 3 2 ! x 8 2 + 1 3 - 2 3 - 5 3 3 ! x 8 3 + …

Passo 2

Dessa forma, simplificando e escrevendo como série de potência, obtemos:

= 2 1 + 1 24 x + ∑ n = 2 ∞ - 1 n - 1 . 2.5 .   … . 3 n - 4 3 n 8 n n ! x n

= 2 + 1 12 x + 2 ∑ n = 2 ∞ - 1 n - 1 . 2.5 .   … . 3 n - 4 24 n n ! x n

Passo 3

Pelo teste da razão é possível verificar que, para a convergência, devemos ter:

x 8 < 1 → x < 8

Sendo assim, o raio de convergência é:

R = 8

Resposta

R = 8

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