Enunciado

Use multiplicação ou divisão de séries de potências para encontrar os três primeiros termos diferentes de zero na série de Maclaurin de cada função.

y = e - x 2 cos ⁡ x

Passo 1

Primeiramente vamos substituir e - x 2   e cos ⁡ x por suas respectivas séries

e - x 2 = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n n ! = 1 - x 2 + x 4 2 ! - …

cos ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n 2 n ! = 1 - x 2 2 ! + x 4 4 ! - …

Então temos que

y = 1 - x 2 + x 4 2 ! - … 1 - x 2 2 ! + x 4 4 ! - …

Passo 2

Fazendo a multiplicação com os três primeiros termos, teremos termos de até oitavo grau, mas como só queremos os três primeiros termos do resultado, ficaremos apenas com os termos de até quarto grau, que vai ser o terceiro termo da série resulado.

Para organização, ficaremos com termos de graus iguais em uma mesma coluna.

×

1 - x 2 + x 4 2 ! - …

1 - x 2 2 ! + x 4 4 ! - …

+

1 - x 2 + x 4 2 ! - …

        - x 2 2 ! + x 4 2 ! - …

                            + x 4 4 ! - …

1 - 3 x 2 2 + 25 x 4 24 - …

Resposta

y = 1 - 3 x 2 2 + 25 x 4 24 - …

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