Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.10 - Ex. 43
Use uma série de Maclaurin na Tabela 1 para obter a série de Maclaurin da função dada.
Passo 1
Fala aí! Precisamos encontrar a Série de Maclaurin para a função que nosso enunciado nos deu, né? Para isso vamos visitar a tabela 1 e fazer comparações… Partiu então!
Vamos começar focando só na parte quando , beleza? Nessa situação, nossa função será:
Olhando a tabela, podemos verificar essa série aqui:
Então no nosso numerador temos o seguinte:
Tranquilo? Nós substituímos pela série que corresponde a ele na tabela… Nesse caso, o primeiro termo da série é e a gente vê que o primeiro termo dessa série é , então ele vai se cancelar com o de fora, ok?
Opa! Então podemos tirar ele e começar a série em … Vamos fazer isso!
Mas ficamos com uma série negativa, né? Bom, a gente pode mudar isso ainda, temos que colocar o menos pra dentro da série… Pra fazer isso vamos precisar aumentar uma potência do termos , ok?
Vamos ficar com:
Show! O numerador foi, já arrumamos ele… Massss a nossa série tem um no denominador, né? Vamos então colocar ele junto, vamos ver como vai ficar:
Passando ele para dentro da série podemos colocar assim:
Conseguimos! Encontramos a série de Maclaurin da função onde !
Passo 2
Vamos ter então o seguinte:
Agora vamos analisar se a gente substituir … Nesse caso, temos na parte da esquerda uma indeterminação, mas a série da esquerda, vale , né? Já que é igual a função da esquerda para todos os valores, menos , e a série converge para para todos os valores de … Resumindo, vamos ter que nossa função será:
E colocando formato de série, pra ficar bonitinho, temos:
Show de bola! Conseguimos!