Enunciado

Use uma série de Maclaurin na Tabela 1 para obter a série de Maclaurin da função dada.

  x   -   s e n   x   x 3             s e     x   ≠   0  

  1 6                   s e     x = 0

Passo 1

Fala aí! Precisamos encontrar a Série de Maclaurin para a função que nosso enunciado nos deu, né? Para isso vamos visitar a tabela 1 e fazer comparações… Partiu então!

Vamos começar focando só na parte quando x   ≠   0 , beleza? Nessa situação, nossa função será:

x   -   s e n   x x 3

Olhando a tabela, podemos verificar essa série aqui:

s e n   x   = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 2 n + 1 !

Então no nosso numerador temos o seguinte:

x - s e n   x   = x - ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 2 n + 1 !

Tranquilo? Nós substituímos s e n   x pela série que corresponde a ele na tabela… Nesse caso, o primeiro termo da série é x e a gente vê que o primeiro termo dessa série é x , então ele vai se cancelar com o x de fora, ok?

Opa! Então podemos tirar ele e começar a série em n = 1 … Vamos fazer isso!

x - s e n   x   =   - ∑ n = 1 ∞ - 1 n x 2 n + 1 2 n + 1 !

Mas ficamos com uma série negativa, né? Bom, a gente pode mudar isso ainda, temos que colocar o menos pra dentro da série Pra fazer isso vamos precisar aumentar uma potência do termos - 1 n , ok?

Vamos ficar com:

x - s e n   x   = ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 x 2 n + 1 2 n + 1 !

Show! O numerador foi, já arrumamos ele… Massss a nossa série tem um x 3 no denominador, né? Vamos então colocar ele junto, vamos ver como vai ficar:

x   -   s e n   x   x 3 = 1 x 3 ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 x 2 n + 1 2 n + 1 !

Passando ele para dentro da série podemos colocar assim:

x   -   s e n   x   x 3 = ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 x 2 n + 1   .   x - 3 2 n + 1 !

x   -   s e n   x   x 3 = ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 x 2 n - 2 2 n + 1 !

Conseguimos! Encontramos a série de Maclaurin da função onde x   ≠   0 !

Passo 2

Vamos ter então o seguinte:

x   -   s e n   x   x 3 = 1 3 ! - x 2 5 ! + x 4 7 ! - x 6 9 ! + …

Agora vamos analisar se a gente substituir x = 0 … Nesse caso, temos na parte da esquerda uma indeterminação, mas a série da esquerda, vale 1 6 , né? Já que f ( x ) é igual a função da esquerda para todos os valores, menos x = 0 , e a série converge para f ( x ) para todos os valores de x … Resumindo, vamos ter que nossa função será:

f x = 1 3 ! - x 2 5 ! + x 4 7 ! - x 6 9 ! + …

E colocando formato de série, pra ficar bonitinho, temos:

f x = ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 x 2 n - 2 2 n + 1 !

Show de bola! Conseguimos!

Resposta

f x = ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 x 2 n - 2 2 n + 1 !

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