Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.7 - Ex. 19
Utilize coordenadas cilíndricas
Calcule , onde é o sólido do primeiro octante que está abaixo do paraboloide .
Passo 1
Temos uma integral tripla do tipo I. Isto é:
Observem que o plano limita a parte inferior do nosso sólido. A região é obtida a partir da projeção do nosso sólido. Neste caso, basta fazer a interseção do plano com o paraboloide. Logo,
Logo, temos um círculo de raio 2. Para passarmos para coordenadas cilíndricas, basta fazer:
E os limites de integração serão: e . Portanto,
Observem que pois estamos trabalhando no primeiro octante!
Passo 2
Agora, vamos resolver a integral do nosso problema. Para isto, basta integrar cada uma das variáveis e aplicar o teorema fundamental do cálculo. Logo,
Resposta
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∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ - 1 2 1 2 r 2 s e n 2 θ + z 2 d zrd rd θ
Converta a integral: ∫ - 1 1 ∫ 0 1 - y 2 ∫ 0 x x 2 + y 2 d z d x d y Em uma integral equivalente em coordenada cilíndricas e calcule o resultado
∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ r 2 - r 2 d zrd rd θ
Seja D a região delimitada abaixo pelo plano z = 0 , acima pela esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 e dos lados pelo cilindro x 2 + y 2 = 1 . Monte as integrais triplas em coordenadas cilíndricas que fornecem
∫ 0 2 ∫ r - 2 4 - r 2 ∫ 0 2 π rs e n θ + 1 rd θd zd r