Enunciado

Ver Outros Exercícios
desse livro

Use uma série de potência para aproximar a integral definida com seis casas decimais.

Passo 1

Nesse exercício iremos analisar a seguinte integral:

∫ 0 1 / 2 arctg ⁡ ( x / 2 ) d x

Dessa forma, podemos reescrever o termo dentro da integral com o auxílio do exemplo 7 dessa mesma seção, susbtituindo x / 2 por x , com isso, temos:

∫ a r c t g ( x / 2 ) d x = ∫ ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 2 n + 1 2 n + 1

Passo 2

Dessa forma, podemos reescrever a integral como:

∫ ∑ n = 0 ∞ - 1 n . x 2 2 n + 1 2 n + 1 = ∫ ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 2 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) d x

E, dessa forma:

∫ ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 2 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) d x = C + ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 2 2 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ( 2 n + 2 )

Passo 3

Agora, resolvendo a integral definida, temos:

I = ∫ 0 1 2 a r c t g x 2 d x = x 2 2 ( 1 ) ( 2 ) - x 4 2 3 3 4 + x 6 2 5 5 6 - x 8 2 7 7 8 + x 10 2 9 9 10 - … 0 1 2

= 1 2 3 ( 1 ) ( 2 ) - 1 2 7 3 4 + 1 2 11 5 6 - 1 2 15 7 8 + 1 2 19 9 10 - …

Podemos notar que essa é uma série alternada, então, se usarmos os quatro primeiros termos, o erro será, no máximo de 1 / ( 2 19 . 90 ) ≅ 2,1.10 - 8 , o que é menor do que a precisão pedida no enunciado, sendo assim:

I = 1 16 - 1 1536 + 1 61440 - 1 1835008 ≅ 0,061865

Resposta

I ≅ 0,061865

Exercícios de Livros Relacionados

O semicírculo com diâmetro P Q está sobre um triangulo isósceles P Q R para formar uma região com um formato de sorvete, conforme mostra a figura. Se A ( θ ) for a área do semicírc...
46. Determine as forças no elemento G C da treliça e indique que se ele está sob tração ou compressão.
Calcule o centroide da área a seguir em termos das variáveis dos raios:
Considere o trilho de uma estrada de ferro reta e horizontal com um vagão ferroviário de 50000kg se deslocando ao longo da linha férrea a uma velocidade constante de 15m/s. Determi...
Uma correia feita de material isolante, com 50   c m de largura, se move a uma velocidade de 30   m / s . A carga que a correia transporta até um aparelho de laboratório correspond...
Se A for uma matriz m × n e se o sistema linear A x = b for consistente com qualquer vetor b em R m , o que pode ser dito sobre a imagem de T A : R n → R m ?
(Requer cálculo) Seja V o espaço vetorial das funções reais com derivadas continuas de todas as ordens no intervalo   - ∞ ,   ∞ e W = F ( - ∞ ,   ∞ ) o espaço vetorial de todas as ...
Calcule a integral. ∫ z 3 e z   d z
Seja E uma matriz elementar 2 × 2 fixada. Decida se a fórmula T A = E A define um operador linear injetor de M 2 × 2 . Explique seu raciocínio.
Seja a um vetor em R 3 fixado. Decida se a fórmula T v = a × v define um operador linear injetor de R 3 . Explique seu raciocínio.
Em cada parte, determine se a multiplicação por A é uma transformação linear injetora. A = 1 - 2 2 - 4 - 3 6 A = 1 3 5 7 2 - 1 2 4 - 1 3 0 0 A = 4 - 2 1 5 5 3
Escreva cada combinação de vetores como um único vetor. P Q → + Q R → R P → + P S → Q S → - P S → R S → + S P → + P Q →