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Use série de potência para resolver a equação diferencial.

y ' ' + x 2 y ' + x y = 0 ,   y 0 = 0 ,   y ' 0 = 1

Passo 1

Olá, tudo bem? Essa é uma equação diferencial de segunda ordem e devemos resolvê-la usando série de potência. Então vamos supor uma solução do tipo série:

y x = ∑ n = 0 ∞ c n x n

A derivada em relação à x é:

y ' x = ∑ n = 1 ∞ n . c n x n - 1

E a derivada segunda é:

y ' ' x = ∑ n = 2 ∞ n . ( n - 1 ) c n x n - 2

Agora vamos substituir na equação diferencial:

∑ n = 2 ∞ n . ( n - 1 ) c n x n - 2 + x ² ∑ n = 1 ∞ n . c n x n - 1 + x ∑ n = 0 ∞ c n x n = 0

E já vamos colocar o x 2 que está do lado de fora do segundo somatório da esquerda para dentro e o x que está no terceiro somatório para dentro também:

∑ n = 2 ∞ n . ( n - 1 ) c n x n - 2 + ∑ n = 1 ∞ n . c n x n + 1 + ∑ n = 0 ∞ c n x n + 1 = 0

Pronto, vamos continuar?

Agora temos uma equação em série de potência, vamos ver como se resolve?

Passo 2

A primeira coisa a ser feita para resolver uma equação diferencial por série de potência é igualar os expoentes dos somatórios. Sempre buscando deixa-los na maior potência de x   possível. No nosso caso o maior expoente é do segundo somatório do lado esquerdo, com potência n + 1 . Então vamos arrumar o primeiro somatório do lado esquerdo:

∑ n = 2 ∞ n . ( n - 1 ) . c n x n - 2

Vamos substituir o índice original n - 2 por n ' + 1 . Assim vamos ter n - 2 → n ' + 1 , então o n original vai virar n → n ' + 3 :

∑ n ' + 3 = 2 ∞ n ' + 3 . ( n ' + 2 ) . c n ' + 3 x n ' + 3 - 2

E agora vamos simplificar os índices:

∑ n ' = - 1 ∞ n ' + 3 . ( n ' + 2 ) . c n ' + 3 x n ' + 1

E por simplicidade podemos trocar o índice n ' por n novamente. Aqui é só uma mudança de índice, então o nome não importa efetivamente, apenas as somas =)

∑ n = - 1 ∞ n + 3 . ( n + 2 ) . c n + 3 x n + 1

E podemos agora podemos substituir novamente na equação:

∑ n = - 1 ∞ n + 3 . ( n + 2 ) . c n + 3 x n + 1 - ∑ n = 1 ∞ n . c n x n + 1 + ∑ n = 0 ∞ c n x n + 1 = 0

Mas podemos já arrumar um somatório, o segundo da esquerda! Começando e 0 ou em 1 dá no mesmo! Então vamos poupar tempo r já arrumar aqui:

∑ n = - 1 ∞ n + 3 . ( n + 2 ) . c n + 3 x n + 1 + ∑ n = 0 ∞ n . c n x n + 1 + ∑ n = 0 ∞ c n x n + 1 = 0

Beleza! Agora vamos arrumar o outro somatório? =D

Passo 3

Bom, agora que temos todos os x com a mesma potência, vamos olhar para o início dos somatórios. Dois deles começam em 0 e outro em - 1 . Então devemos colocar o primeiro termo do que começa com n = - 1 para fora e assim deixar todos somatórios começando em 0 (sempre deixar com o maior índice comum a todos):

2 c 2 + ∑ n = 0 ∞ n + 3 . ( n + 2 ) . c n + 3 x n + 1 + ∑ n = 0 ∞ n . c n x n + 1 + ∑ n = 0 ∞ c n x n + 1 = 0

Beleza! Agora que temos os somatórios iguais e as potências de x iguais, podemos unir esses dois somatórios em um só:

2 c 2 + ∑ n = 0 ∞ [ n + 3 . ( n + 2 ) . c n + 3 + ( n + 1 )   c n ] x n + 1 = 0

Para essa sentença ser verdadeira teremos:

2 c 2 = 0  

Pois do outro lado (lado direito da equação) não temos nenhuma constante para igualar, então c 2 é nulo.

E também tudo que está dentro dos colchetes no somatório deve ser zero:

n + 3 . ( n + 2 ) . c n + 3 + ( n + 1 )   c n

c n + 3 = - c n ( n + 1 ) n + 3 ( n + 2 )

Agora pare! Antes de ir vendo qual é a fórmula para c n , vamos aplicar as condições de contorno!

Passo 4

Então é aqui que testamos as condições iniciais. Lá do passo 1 temos:

y x = ∑ n = 0 ∞ c n x n = c 0 x 0 + c 1 x ¹ + c 2 x ² + …

A primeira condição inicial nos diz que para x = 0 ,   y = 0 , então substituindo na solução que supomos lá no começo temos:

y 0 = c 0 . 1 + c 1 . 0 + c 2 0 ² + … = 0

c 0 = 0

Ok! Agora a segunda condição de contorno diz respeito à derivada de y . Então, também do passo 1 :

y ' x = ∑ n = 1 ∞ n . c n x n - 1 = c 1 x 0 + c 2 x 1 + …

E a condição de contorno nos diz que y ' 0 = 1 então:

  y ' 0 = c 1 . 1 + c 2 . 0 + … = 1 Assim c 1 = 1 . Show! Então temos c 0 = c 2 = 0 ,   c 1 = 1 . Agora sim podemos ir para o cálculo de c n .

Passo 5

Voltando no passo 3 e resgatando a fórmula de recorrência para c n + 3 :

c n + 3 = - c n ( n + 1 ) n + 3 ( n + 2 )

E vamos variar o valor de n para visualizar a recorrência :

  • Para n = 0 :
  • c 3 = - c 0 3.2 = 0

  • Para n = 1 :
  • c 4 = - 2 c 1 4.3 = - 2 3.4

    Olha o truque sujo aqui! Vou multiplicar em cima e embaixo por 2 :

    c 4 = - 2 2 2.3 . 4 = - 1 2 2 4 !

  • Para n = 2 :
  • c 5 = - 3 c 2 4.5 = 0

  • Para n = 3 :
  • c 6 = - 4 c 3 6.5 = 0

  • Para n = 4 : (aqui vou fazer o mesmo truque sujo!)

c 7 = - 5 c 4 6.7 = - 1 2 2.5 3.4 . 6.7 = - 1 2 2 2 5 2 7 !

Se seguirmos, vamos encontrar c 3 n = c 3 n + 2 = 0 . E só os termos c 3 n + 1 não vão ser nulos.

c 3 n + 1 = - 1 n 2 2 . 5 2 … . 3 n - 1 2 ( 3 n + 1 ) ! ,   n = 1,2 , 3 …  

Passo 6

Beleza! Agora que encontramos o coeficiente c 3 n + 1 podemos voltar para o passo 1 e substituir na solução:

y x = ∑ n = 0 ∞ c n x n

y x = ∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 2 . 5 2 … . 3 n - 1 2 ( 3 n + 1 ) ! x 3 n + 1

Resposta

y x = ∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 2 . 5 2 … . 3 n - 1 2 ( 3 n + 1 ) ! x 3 n + 1

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