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Use série de potência para resolver a equação diferencial.

y ' ' - x 2 y = 0 ,   y 0 = 1 ,   y ' 0 = 0

Passo 1

Olá, tudo bem? Essa é uma equação diferencial de segunda ordem e devemos resolvê-la usando série de potência. Então vamos supor uma solução do tipo série:

y x = ∑ n = 0 ∞ c n x n

A derivada em relação à x é:

y ' x = ∑ n = 1 ∞ n . c n x n - 1

E a derivada segunda é:

y ' ' x = ∑ n = 2 ∞ n . ( n - 1 ) c n x n - 2

Agora vamos substituir na equação diferencial:

∑ n = 2 ∞ n . ( n - 1 ) c n x n - 2 - x ² ∑ n = 0 ∞ c n x n = 0

E já vamos colocar o x 2 que está do lado de fora do segundo somatório da esquerda para dentro:

∑ n = 2 ∞ n . ( n - 1 ) c n x n - 2 - ∑ n = 0 ∞ c n x n + 2 = 0

Pronto, vamos continuar?

Agora temos uma equação em série de potência, vamos ver como se resolve?

Passo 2

A primeira coisa a ser feita para resolver uma equação diferencial por série de potência é igualar os expoentes dos somatórios. Sempre buscando deixa-los na maior potência de x   possível. No nosso caso o maior expoente é do segundo somatório do lado esquerdo, com potência n + 2 . Então vamos arrumar o primeiro somatório do lado esquerdo:

∑ n = 2 ∞ n . ( n - 1 ) . c n x n - 2

Vamos substituir o índice original n - 2 por n ' + 2 . Assim vamos ter n - 2 → n ' + 2 , então o n original vai virar n → n ' + 4 :

∑ n ' + 4 = 2 ∞ n ' + 4 . ( n ' + 3 ) . c n ' + 4 x n ' + 4 - 2

E agora vamos simplificar os índices:

∑ n ' = - 2 ∞ n ' + 4 . ( n ' + 3 ) . c n ' + 4 x n ' + 2

E por simplicidade podemos trocar o índice n ' por n novamente. Aqui é só uma mudança de índice, então o nome não importa efetivamente, apenas as somas =)

∑ n = - 2 ∞ n + 4 . ( n + 3 ) . c n + 4 x n + 2

E podemos agora podemos substituir novamente na equação:

∑ n = - 2 ∞ n + 4 . ( n + 3 ) . c n + 4 x n + 2 - ∑ n = 0 ∞ c n x n + 2 = 0

Beleza! Agora vamos arrumar os somatórios =D

Passo 3

Bom, agora que temos todos os x com a mesma potência, vamos olhar para o início dos somatórios. Um deles começa em 0 , e outro em - 2 , então devemos colocar o primeiro e o segundo termo do que começa com n = - 2 para fora e assim deixar todos somatórios começando em 0 (sempre deixar com o maior índice comum a todos):

2 c 2 + 6 c 3 x + ∑ n = 0 ∞ n + 4 . ( n + 3 ) . c n + 4 x n + 2 - ∑ n = 0 ∞ c n x n + 2 = 0

Beleza! Agora que temos os somatórios iguais e as potências de x iguais, podemos unir esses dois somatórios em um só:

2 c 2 + 6 c 3 x + ∑ n = 0 ∞ [ n + 4 . ( n + 3 ) . c n + 4 -   c n ] x n + 2 = 0

Para essa sentença ser verdadeira teremos:

2 c 2 = 0   ,   6 c 3 = 0

Pois do outro lado não temos nenhuma constante e nenhum polinômio de primeiro grau para igualar, então c 2 e c 3 são nulos.

E também tudo que está dentro dos colchetes no somatório deve ser zero:

n + 4 . ( n + 3 ) . c n + 4 -   c n = 0

c n + 4 = c n n + 4 ( n + 3 )

Agora pare! Antes de ir vendo qual é a fórmula para c n , vamos aplicar as condições de contorno!

Passo 4

Então é aqui que testamos as condições iniciais. Lá do passo 1 temos:

y x = ∑ n = 0 ∞ c n x n = c 0 x 0 + c 1 x ¹ + c 2 x ² + …

A primeira condição inicial nos diz que para x = 0 ,   y = 1 , então substituindo na solução que supomos lá no começo temos:

y 0 = c 0 . 1 + c 1 . 0 + c 2 0 ² + … = 1

c 0 = 1

Ok! Agora a segunda condição de contorno diz respeito à derivada de y . Então, também do passo 1 :

y ' x = ∑ n = 1 ∞ n . c n x n - 1 = c 1 x 0 + c 2 x 1 + …

E a condição de contorno nos diz que y ' 0 = 0 então:

  y ' 0 = c 1 . 1 + c 2 . 0 + … = 0 Assim c 1 = 0 . Show! Então temos c 0 = 1 ,   c 1 = c 2 = c 3 = 0 . Agora sim podemos ir para o cálculo de c n .

Passo 5

Voltando no passo 3 e resgatando a fórmula de recorrência para c n + 4 :

c n + 4 = c n n + 4 ( n + 3 )

E vamos variar o valor de n para visualizar a recorrência :

  • Para n = 0 :
  • c 4 = c 0 4.3 = 1 4.3

  • Para n = 1 :
  • c 5 = c 1 5.4 = 0

  • Para n = 2 :
  • c 6 = c 2 6.5 = 0

  • Para n = 3 :
  • c 7 = c 3 7.6 = 0

  • Para n = 4 :

c 8 = c 4 8.7 = 1 3.4 . 7.8

Se continuarmos vamos encontrar c 9 = c 10 = c 11 = c 4 n + 1 = c 4 n + 2 = c 4 n + 3 = 0 . Apenas os termos c 4 n vão ser diferentes de zero. Daí:

c 4 = 1 4.3 ,     c 8 = 1 3.4 . 7.8 ,           c 12 = 1 3.4 . 7.8 . 11.12

Uma recorrência pode ser:

c 4 n = 1.2 … 5.6 … 9.10 … 4 n - 3 4 n - 2 4 n !

Passo 6

Beleza! Agora que encontramos o coeficiente c 4 n podemos voltar para o passo 1 e substituir na solução:

y x = ∑ n = 0 ∞ c n x n

y x = ∑ n = 1 ∞ 1.2 … 5.6 … 9.10 … 4 n - 3 4 n - 2 4 n ! x 4 n

Resposta

y x = ∑ n = 0 ∞ 1.2 … 5.6 … 9.10 … 4 n - 3 4 n - 2 4 n ! x 4 n

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