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Use série de potência para resolver a equação diferencial.

y ' ' = y

Passo 1

Olá, tudo bem? Essa é uma equação diferencial de segunda ordem e devemos resolvê-la usando série de potência. Então vamos supor uma solução do tipo série:

y x = ∑ n = 0 ∞ c n x n

A derivada em relação à x é:

y ' x = ∑ n = 1 ∞ n . c n x n - 1

E a derivada segunda é:

y ' ' x = ∑ n = 2 ∞ n . ( n - 1 ) c n x n - 2

E vamos substituir na equação diferencial:

∑ n = 2 ∞ n . ( n - 1 ) c n x n - 2 - ∑ n = 0 ∞ c n x n = 0

Passo 2

A primeira coisa a ser feita para resolver uma equação diferencial por série de potência é igualar os expoentes dos somatórios. Sempre buscando deixa-los na maior potência de x   possível. No nosso caso o maior expoente é do termo de x com potência n . Então vamos arrumar o primeiro somatório do lado esquerdo:

∑ n = 2 ∞ n . ( n - 1 ) c n x n - 2

Vamos substituir o índice original n - 2 por n ' . Assim vamos ter n - 2 → n ' , então o n original vai virar n → n ' + 2 :

∑ n ' + 2 = 2 ∞ ( n ' + 2 ) . ( n ' - 1 + 2 ) c n ' + 2 x n ' + 2 - 2

∑ n ' = 0 ∞ ( n ' + 2 ) . ( n ' + 1 ) c n ' + 2 x n '

E por simplicidade podemos trocar o índice n ' por n novamente. Aqui é só uma mudança de índice, então o nome não importa efetivamente, apenas as somas =)

∑ n = 0 ∞ ( n + 2 ) . ( n + 1 ) c n + 2 x n

E podemos agora podemos substituir novamente na equação diferencial:

∑ n = 0 ∞ ( n + 2 ) . ( n + 1 ) c n + 2 x n - ∑ n = 0 ∞ c n x n = 0

Passo 3

Já que temos as potências iguais vamos olhar para o início dos somatórios. Ambas as somas começam em n = 0 , então aqui não precisamos ajustar nada. (eba!) Então podemos juntar em uma única soma:

∑ n = 0 ∞ n + 2 . n + 1 c n + 2 - c n x n = 0

Como x n ≠ 0 , então para essa sentença matemática ser verdadeira devemos ter o termo entre colchetes igual à zero:

n + 2 . n + 1 c n + 2 - c n = 0

c n + 2 = c n n + 2 ( n + 1 )  

Chegamos a famosa fórmula de recorrência. Agora vamos ver como é o coeficiente c n :

  • Para n = 0 :
  • c 2 = c 0 2.1

  • Para n = 1 :
  • c 3 = c 1 3.2

  • Para n = 2 :
  • c 4 = c 2 4.3 = c 0 1.2 . 3.4

  • Para n = 3 :
  • c 5 = c 3 5.4 = c 1 2.3 . 4.5

  • Para n = 4 :
  • c 6 = c 4 6.5 = c 0 1.2 . 3.4 . 5.6

  • Para n = 5 :

c 7 = c 5 7.6 = c 1 2.3 . 4.5 . 6.7

Então, para os n pares temos:

c 2 n = c 0 2 n !

Para os ímpares temos:

c 2 n + 1 = c 1 2 n + 1 !

Passo 4

Beleza! Agora que encontramos os coeficientes podemos voltar para o passo 1 e substituir na solução:

y x = ∑ n = 0 ∞ c n x n = ∑ n = 0 ∞ c 0 2 n ! x 2 n + c 1 2 n + 1 ! x 2 n + 1

E é essa a solução!

Vamos pra próxima?

Resposta

y x = ∑ n = 0 ∞ c n x n = ∑ n = 0 ∞ c 0 2 n ! x 2 n + c 1 2 n + 1 ! x 2 n + 1

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