Solução de EDO – Ponto Ordinário

Teoria Completa

Introdução

Você provavelmente já está cansado de ouvir falar em séries, raio de convergência, intervalo de convergência, representação de funções etc. Para que serve isso tudo? Um dos motivos para você estudar isso tudo foi para chegar aqui: vamos ver como resolver equações diferenciais (EDO’s) de 2ª ordem usando séries.

Mas fica tranquilo que vamos mostrar tudo com calma para você!

Até o momento, acredito que você já saiba resolver uma EDO como esta daqui:

y ' ' - y = 0

É uma EDO, de coeficientes constantes portanto pode ser resolvido usando a equação característica:

r 2 - 1 = 0

Aí você resolvia essa equação e dependendo do , você teria esses três modelos de resposta aqui (vou colocar para você relembrar):

  1. ∆ > 0 : Encontramos duas raízes reais diferentes ( r 1 ≠ r 2 ) . Nesse caso, as soluções da EDO são do tipo y x = α e r 1 x + β e r 2 x ;
  2. ∆ = 0 : Encontramos uma raiz real dupla r . Nesse caso, as soluções da EDO são do tipo y x = ( α + β x ) e r x ;
  3. ∆ < 0 : Encontramos duas raízes complexas conjugadas r 1 = α + i β e r 2 = α - i β . Nesse caso, as soluções da EDO são do tipo y x = c 1 e α x cos ⁡ β x + c 2 e α x sen ⁡ β x

No nosso caso, a solução da equação característica é:

r = ± 1

Portanto estamos falando do primeiro caso, onde aresposta é:

y x = α e x + β e - x

Se fosse um problema de PVI (Problema de valor inicial) o problema te informaria as informações iniciais, tipo y 0 = 1 e   y ' 0 = 0 , onde você substituiria na resposta para determinar o α e o β sendo ambos iguais a 1 / 2 nesse caso.

Beleza, mas a gente só refez essa EDO, pelo fato de ela ser a coeficientes constantes! E se ela não fosse assim, mas sim desse jeito aqui:

y ' ' - 2 x y ' + 2 y = 0

Nesse caso a gente não pode usar Equações Característica (por não ser a coeficientes constantes. Uma forma bem interessante de se resolver é usando Séries de Potências!

Solução de EDO por séries

Já vou avisando que o método é extenso mas entendendo os passos e praticando vai parecer mais natural! Vamos resolver o exemplo mostrando o passo a passo do método de solução.

Exemplo: Encontre a solução do problema de valor inicial abaixo:

y ' ' - 2 x y ' + 2 y = 0

Onde

y 0 = 1 ,     y ' 0 = 0

Passo 1: Primeiro, vamos supor logo de cara que a solução dessa EDO é uma série de potência centralizada no x = 0 :

y x = ∑ n = 0 ∞ a n x n = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 …

Essa é a série que representa y ( x ) . Escrevemos em torno do ponto x 0 = 0 pois as informações que o problema dá são nesse ponto . Ele é um ponto ordinário e você vai entender mais pra frente porque estou falando isso.

Esse a n representa os coeficientes de cada termo da série, pode ser qualquer expressão! Encontrando os a n ’s, nós definimos y ( x ) . É isso que faremos aqui !

Certo, se y ( x ) é dada por essa expressão, então podemos derivar:

y ' x = ∑ n = 0 ∞ a n x n ' = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 … ' =

∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1

E a derivada segunda é...

y ' ' x = ∑ n = 2 ∞ n ( n - 1 ) a n x n - 2

Veja que, quando derivamos pela 1ª vez, o termo constante a 0 desaparece do somatório, pois sua derivada é zero. Por isso, o somatório que representa y ' ( x ) começa em n = 1 . Quando derivamos pela 2ª vez, o segundo termo do somatório, a 1 x também desaparece, pois sua segunda derivada é zero. O somatório que representa y ' ' ( x ) começa, então, em n = 2 .

Calma, você vai entender por que derivamos a série!

Passo 2: Se f ( x ) , f ' ( x ) e f ' ' ( x ) são dadas por essas séries, substituindo essas expressões na EDO, não alteramos nada, não é? Continua sendo a mesma equação. Veja:

y ' ' - 2 x y ' + 2 y = 0     →  

∑ n = 2 ∞ n ( n - 1 ) a n x n - 2 - 2 x ∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1 + 2 ∑ n = 0 ∞ a n x n = 0

Podemos pegar esse x do lado de fora e passa-lo para dentro, lembrando que x ⋅ x n = x n + 1 ...

∑ n = 2 ∞ n ( n - 1 ) a n x n - 2 - 2 ∑ n = 1 ∞ n a n x n + 2 ∑ n = 0 ∞ a n x n = 0

Certo?

Passo 3: Precisamos juntar esses somatórios, para simplificar as coisas:

PRIMEIRO, vamos deixá-los com a mesma potência de x , nesse caso, x n . Veja com a primeira série:

∑ n = 2 ∞ n ( n - 1 ) a n x n - 2

Para ficarmos com o mesmo n no expoente, não concorda que precisamos somar 2 ? Afinal n - 2 + 2 = n . Então na prática, vamos colocar 2 na frente de todo n no somatório:

∑ n + 2 = 2 ∞ ( n + 2 ) ( n + 2 - 1 ) a n + 2 x n + 2 - 2

∑ n = 0 ∞ ( n + 2 ) ( n + 1 ) a n + 2 x n  

Viu só? E o legal é que não alteramos a série! Você pode vericar isso se quiser desmembrando os termos!

Claro, o índice do somatório mudou. E ele deve mudar, para compensar (mesmo raciocínio que temos com substituições nas integrais). Já que você adicionou 2 nos n ’s do somatório, o n deve começar agora duas unidades antes, para compensar: então você tira 2 no índice (no exemplo ele passou de n = 2 para n = 0 ).

Temos, então:

∑ n = 0 ∞ ( n + 2 ) ( n + 1 ) a n + 2 x n - ∑ n = 1 ∞ 2 n a n x n + ∑ n = 0 ∞ 2 a n x n = 0

SEGUNDO: Poxa! Para colocar essas duas séries dentro de uma só, ainda é necessário fazer os somatórios começarem do mesmo n = 1 que é o maior valor nesse exemplo. Para isso, basta você pegar as séries que estão diferentes e tirar o primeiro valor n = 0 :

Fazendo isso com a primeira série...

∑ n = 0 ∞ ( n + 2 ) ( n + 1 ) a n + 2 x n = ( 0 + 2 ) ( 0 + 1 ) a 0 + 2 x 0 + ∑ n = 1 ∞ ( n + 2 ) ( n + 1 ) a n + 2 x n   →

∑ n = 0 ∞ ( n + 2 ) ( n + 1 ) a n + 2 x n = 2 a 2 + ∑ n = 1 ∞ ( n + 2 ) ( n + 1 ) a n + 2 x n  

Fazendo o mesmo com a última série:

∑ n = 0 ∞ 2 a n x n = 2 a 0 + 2 ∑ n = 1 ∞ a n x n

Logo, podemos concluir o seguinte:

2 a 2 + ∑ n = 1 ∞ ( n + 2 ) ( n + 1 ) a n + 2 x n - ∑ n = 1 ∞ 2 n a n x n + 2 a 0 + ∑ n = 1 ∞ 2 a n x n = 0

Passo 4: Finalmente, vamos juntar os somatórios, colocando o x n em evidência.

Temos:

2 a 2 + 2 a 0 + ∑ n = 1 ∞ x n n + 2 n + 1 a n + 2 - 2 n a n + 2 a n = 0 →

2 a 2 + 2 a 0 + ∑ n = 1 ∞ x n n + 2 n + 1 a n + 2 + 2 a n 1 - n = 0 →

Passo 5: Veja que temos um somatório de termos positivos que é igual a zero, logo... o termo do colchetes deve ser zero. Além disso, 2 a 2 + 2 a 0 também deve ser 0 para essa igualde ser satisfeita. Então chegamos nisso daqui:

2 a 2 + 2 a 0 = 0 n + 2 n + 1 a n + 2 + 2 a n 1 - n = 0

Essa é a última relação é chamada de relação de recorrência dos coeficientes. Agora, com base nessa equação, vamos calcular alguns a n ’s e procurar uma expressão em função de n que o defina. Lembrando de usar as informações que o problema nos deu: y 0 = 1 ,   y ' 0 = 0 . Traduzindo isso para a representação em séries:

y x = ∑ n = 0 ∞ a n x n = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 …

y 0 = a 0 = 1

y ' 0 = a 1 = 0

E lembrando que

2 a 2 + 2 a 0 = 0   →         a 2 = - 1

Agora sim, com esses dados vamos usar a relação de recorrência:

n + 2 n + 1 a n + 2 + 2 a n 1 - n = 0

Arrumando mais um pouco:

a n + 2 = n - 1 n + 2 n + 1 2 a n   p a r a   n ≥ 1

A partir de agora, você sempre deve fazer o seguinte: substituir valores para n até encontrar um padrão e não precisar substituir mais (conseguir advinhar o termo de cabeça mesmo), veja:

p a r a     n = 1 → a 3 = 1 - 1 ( 1 + 2 ) ( 1 + 1 ) 2 a 1 = 0 p a r a     n = 2 → a 4 = 2 - 1 ( 2 + 2 ) ( 2 + 1 ) 2 a 2 = 1 4 ⋅ 3 2 a 2 p a r a     n = 3 → a 5 = 3 - 1 ( 3 + 2 ) ( 2 + 3 ) 2 a 3 = 2 5 ⋅ 4 2 a 3 p a r a     n = 4 → a 6 = 4 - 1 4 + 2 4 + 1 2 a 4 = 3 6 ⋅ 5 2 a 4 p a r a     n = 5 → a 7 = 5 - 1 5 + 2 5 + 1 2 a 5 = 4 7 ⋅ 6 2 a 5 p a r a     n = 6 → a 8 = 6 - 1 6 + 2 6 + 1 2 a 6 = 5 8 ⋅ 7 2 a 6

Eita! Que confusão é essa? SIM! Gera um bagulho doido no início, mas se você simplificar e substituir o valor de a 0 = 1 , a 1 = 0 e a 2 = - 1 e depois substituir cada valor que você for encontrando no próximo, olha o que você vai obter:

p a r a     n = 1 → a 3 = 0 p a r a     n = 2 → a 4 = 1 4 ⋅ 3 2 a 2 = - 1 4 ⋅ 3 2 p a r a     n = 3 → a 5 = 2 5 ⋅ 4 2 a 3 = 0 p a r a     n = 4 → a 6 = 3 6 ⋅ 5 2 a 4 = 3 6 ⋅ 5 2 - 1 4 ⋅ 3 2 = - 3 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 2 2 p a r a     n = 5 → a 7 = 4 7 ⋅ 6 2 a 5 = 0 p a r a     n = 6 → a 8 = 5 8 ⋅ 7 2 a 6 = 5 8 ⋅ 7 2 - 3 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 2 2 = - 5 ⋅ 3 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 2 3  

Perceba que sem fazer nenhuma conta, podemos falar quem são o a 9 e o a 10 , apenas observando o padrão:

a 9 = 0

a 10 = - 7 ⋅ 5 ⋅ 3 10 ⋅ 9 ∙ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 2 4

Podemos dividir por 2 e multiplicar por 2 ao mesmo tempo aí:

a 10 = - 7 ⋅ 5 ⋅ 3 10 ⋅ 9 ∙ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 2 5 = - 7 ⋅ 5 ⋅ 3 10 ! 2 5

Toda vez que conseguirmos advinhar o próximo termo sem fazer conta, significa que agente está preparado para o próximo passo:

Passo 6: Generalizar para quanlque a n :

Como podemos ver todos os a n ’s com n ímpar são iguais a zero. Se n = 2 p + 1 :

a n = a 2 p + 1 = 0

Já para os pares, se n = 2 p , podemos dizer o seguinte:

a 2 p = - 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ … ⋅ 2 p - 3 2 p ! 2 p

Esse 2 p - 3 aí é só pra indicar que o último termo do produto é três unidades a baixo do 2 p . Então se o 2 p = 10 , o último vai ser 7 como lá em cimaa gente viu o a 10 , saca?

Agora uma coisa que você pode anotar aí é que toda vez que a gente tem produto de termos ímpares, a gente pode fazer o seguinte truque:

  • Multiplica em cima e em baixo pelos pares que faltam (lembre-se de que o último termo antes do 2 p - 3 é o 2 p - 4 , basta você pensar que 2 p é 10 por exemplo...
  • a 2 p = - 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ 7 ⋅ … ⋅ 2 p - 4 ⋅ 2 p - 3 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ … ⋅ 2 p - 4 ⋅ 2 p ! 2 p

  • Em cima virou um fatorial:
  • a 2 p = - 2 p - 3 ! 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ … ⋅ 2 p - 4 ⋅ 2 p ! 2 p

  • Em baixo, você pode colocar o 2 em evidência:
  • a 2 p = - 2 p - 3 ! 2 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ … ⋅ p - 2 ⋅ 2 p ! 2 p

  • O termo do colchetes, agora vira um fatorial:

a 2 p = - 2 p - 3 ! p - 2 ! ⋅ 2 p ! 2 p - 1

Prontinho !

Você pode manter o índice n , em vez de p se quiser, mas pode acabar se confundindo! Depois que você escrever a fórmula geral para o a n é uma boa testar alguns valores e ver se ela está certa.

Passo 7: Finalmente, basta substituir essa expressão que encontramos para os coeficientes na série.

y x = ∑ n = 0 ∞ a n x n

Lembre-se de que separamos o n em termos pares n = 2 p e ímpares n = 2 p + 1 , então:

y x = ∑ p = 0 ∞ a 2 p x 2 p + ∑ p = 0 ∞ a 2 p + 1 x 2 p + 1

y x = ∑ p = 0 ∞ a 2 p x 2 p = ∑ p = 0 ∞ - 2 p - 3 ! p - 2 ! ⋅ 2 p ! 2 p - 1 ⋅ x 2 p

Prontinho! Você pode acabar por aqui! Afinal, se você tiver um valor para x , basta você colocar isso em uma calculadora e ele vai encontrar a resposta para o seu y x .

OBS IMPORTANTÍSSIMA: para resolver esse problema exemplar, nós substituímos o a 0 e o a 1 , já que eram dados do problema inicial. Muitas vezes (você vai ver isso nos exemplo), você não terá esses dados, então eles apareceriam na resposta, ok? Eles estariam fazendo o papel do α e o β do exemplo no ínicio do capítulo, ou seja: das constantes!

Ponto Ordinário

Que probleminha gigante, não acha? Antes de passar para um resumo prático, vejamos agora o tal do ponto ordinário:

No geral, você vai ter que resolver uma EDO desse tipo aqui:

P x y ' ' + Q x y ' + R x y = 0

O método que vímos vale quando o ponto x 0 em que a série de potências está centrada (no exemplo foi o x 0 = 0 ) é ordinário.

Você: “Ah, mas e se ele não for ordinário”

Resposta: Aí a gente vai ver como resolver esse problema nos próximos capítulos, ok?

Vamos explicar o que isso quer dizer:

y x = ∑ n = 0 ∞ a n ( x - x 0 ) n

Estamos representando y ( x ) por uma série centrada no ponto x 0 , que o problema pede ou você mesmo escolhe (no nosso exemplo a gente escolheu o 0 , porque assim teríamos logo o valor de a 0 e a 1 através do PVI).

Sabe o P ( x ) , coeficiente da EDO? Dizemos que o ponto x 0 é ordinário quando P ( x 0 ) ≠ 0 e quando Q x 0 / P x 0 e R x 0 / P x 0 são funções analíticas no ponto x 0 . Se alguma dessas condições não for atendida, x 0 é ponto singular. Na prática, vamos acabar considerando que quando P ( x 0 ) ≠ 0 , x 0 é ponto ordinário.

Por exemplo, a EDO que resolvemos nesse capítulo tinha o P x = 1

y ' ' - 2 x y ' + 2 y = 0

Logo, qualquer ponto era ordinário: Afinal, P x = 1 e nunca irá zerar.

Nessa outra equação, porém:

x 2 - 1 y ' ' + x y = 0

Temos x 2 - 1 = 0 quando x = ± 1 . Portanto, não podemos descrever y ( x ) como uma série de potências centrada em x 0 = ± 1 . Podemos centrá-la em x 0 = 0 , por exemplo. Temos sempre que verificar se o ponto x 0 com que estamos trabalhando é ordinário.

Resumo prático

Basicamente, o que fizemos foi assumir que nossa solução da EDO y ( x ) tenha representação em série. Então, substituímos y e suas derivadas por séries. Encontrando os coeficientes da série que representa y , temos a resposta. Resumindo assim até pareceu fácil, né? kkk

Mas porque usar esse método tão trabalhoso para resolver EDO’s? Um dos motivos é simples: a sua prova provavelmente vai falar para você fazer isso. AFFF!

Mas qual é a vantagem desse método? Quando podemos usá-lo? Uma das vantagens, que já mencionamos, é que podemos resolver EDO’s cujos coeficientes são funções:

P x y ' ' + Q x y ' + R x y = 0

Por exemplo: x 2 - 1 y ' ' + x y = 0

Essa EDO não pode ser resolvida pelo método da equação característica, que mencionamos no início do capítulo, pois os coeficientes da equação são funções de x . Porém, podemos resolver sem problemas utilizando séries!

Sim, essa forma de resolver EDO é um pouco trabalhosa, mas se você reparar, não tem muito mistério. Digo, é sempre a mesma receita de bolo! Vai aqui um passo a passo para você não se perder:

  1. Verificar que o ponto x 0 é ordinário ( P ( x 0 ) ≠ 0 );
  2. Definir
  3. y x = ∑ n = 0 ∞ a n x n

    y ' x = ∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1

    y ' ' x = ∑ n = 2 ∞ n ( n - 1 ) a n x n - 2

    E substituir na EDO y , y ' e y ' ' por essas séries;

  4. Igualar as potências de x , em geral, por x n . Quando adicionar algum valor no termo geral da série, subtrair o mesmo no valor inicial do índice n ;
  5. Caso não sejam o mesmo, igualar os índices dos somatórios pelo maior, colocando para fora do somatório os termos correspondentes aos índices anteriores;
  6. Juntar os somatórios colocando x n em evidência. Caso haja termos independentes (soltos fora dos somatórios) é uma boa agrupá-los dentro de parênteses de acordo com a potência de x que o multiplica;
  7. Como x n ≠ 0 , igualar o termo que multiplica a potência a zero, encontrando a relação de recorrência. Se houver termos fora do somatório, também devemos igualar a zero;
  8. Calcular alguns a n ’s (usando as informações iniciais do problema) e encontrar uma (ou mais de uma) expressão em função de n que os defina;
  9. Substituir na série de potências essa expressão para o a n .

Caso o problema peça, no final disso você calcula o raio de convergência da série pelos métodos que vimos no capítulo passado.

Achou confuso? Daqui a pouco você se acostuma, é só fazer bastantes exercícios, eles são muito parecidos. Você pode colar desse passo a passo até se sentir seguro!

O que fazer quando não temos uma equação homegênea?

Ou seja,

P x y ' ' + Q x y ' + R x y = f ( x )

Neste caso, o método também não muda!! Novamente, o fato da equação não ser homogênea vai alterar o Passo 5. Vamos ver um exemplo que fica mais fácil de entender!

Exemplo:

Considere a equação diferencial :

y ' ' - x y = 3

Com y 0 = 1 e y ' 0 = 0 .  

Cuja solução buscaremos na forma de uma série de potências :

y x = ∑ n = 0 ∞ a n x n    

Determine a relação de recorrência entre os coeficientes.

Passo 1:

Nós precisamos resolver a equação diferencial dada   y ' ' - x y = 3 , sabendo que:

y x = ∑ n = 0 ∞ a n x n

Então precisaremos calcular y ' ( x ) e y ' ' x :

y ' x = ∑ n = 1 ∞ a n n x n - 1

y ' ' x = ∑ n = 2 ∞ a n n n - 1 x n - 2

Passo 2:

Agora que temos os termos necessários, vamos substituir na equação diferencial:

∑ n = 2 ∞ a n n n - 1 x n - 2 - x ∑ n = 0 ∞ a n x n = 3

Passando x para dentro do somatório,

∑ n = 2 ∞ a n n n - 1 x n - 2 - ∑ n = 0 ∞ a n x n + 1 = 3

Passo 3:

Agora temos que deixar todos os x n + 1 dentro dos somatórios, mudando o seu índice. Começando com

∑ n = 2 ∞ a n n n - 1 x n - 2 ⇒ ∑ n = - 1 ∞ a n + 3 n + 3 n + 2 x n + 1

Esse era o único que precisava se mudado, repara que dessa vez temos o n começando em um cara negativo, não precisa se preocupar com isso, esse n pode ser negativo neste caso porque quando substituirmos no somatório não vai dar problema nenhum.

Passo 4:

A nossa EDO vai ficar:

∑ n = - 1 ∞ a n + 3 n + 3 n + 2 x n + 1 - ∑ n = 0 ∞ a n x n + 1 = 3

Precisamos deixar todos os inícios no mesmo lugar agora, vamos começar todas com n = 0

2 a 2 + ∑ n = 0 ∞ a n + 3 n + 3 n + 2 x n + 1 - ∑ n = 0 ∞ a n x n + 1 = 3

Juntando os somatórios temos:

2 a 2 + ∑ n = 0 ∞ a n + 3 n + 3 n + 2 - a n x n + 1 = 3

Isso nos diz que:

2 a 2 = 3

Além disso tiramos a relação de recorrência:

a n + 3 n + 3 n + 2 - a n = 0

Vamos ter:

a n + 3 = a n n + 3 n + 2

Com n = 0 , 1,2 …

PRONTINHO! Temos aí a nossa relação de recorrências! Viu como basicamente nada mudou? Agora recomendo ir para os exercício e treinar o passo a passo, pois se tem uma matéria que é certeza de cair no mínimo 1 questão na sua prova, é essa!

Expandir

Exercício Resolvido #1

William E. Boyce e Richard C. DiPrima, Equações diferenciais elementares e problemas de valores de contorno, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2006. pp. 135, exemplo 1

Encontre uma solução em série para a equação

y ' ' + y = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Como o problema não especifica, vamos solucionar o problema definindo y ( x ) como uma série centrada em x 0 = 0 , para simplificar as contas. Antes de tudo, precisamos verificar se o ponto x 0 é ordinário. Temos, nesse caso, P x = 1 ≠ 0 . Logo, qualquer ponto que escolhermos, inclusive x 0 = 0 é ordinário. Podemos usar o método aqui então.

Passo 2

Vamos, então, definir:

y x = ∑ n = 0 ∞ a n x n

y ' x = ∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1

y ' ' x = ∑ n = 2 ∞ n ( n - 1 ) a n x n - 2

Fazendo essas substituições na EDO , temos:

∑ n = 2 ∞ n ( n - 1 ) a n x n - 2 + ∑ n = 0 ∞ a n x n = 0

Passo 3

Precisamos, agora, Igualar as potências de x , nesse caso, por x n . Temos:

∑ n = 2 ∞ n ( n - 1 ) a n x n - 2 = ∑ n = 0 ∞ ( n + 2 ) ( n + 1 ) a n + 2 x n

Lembrando que: quando adicionamos algum valor no termo geral da série, temos que subtrair o mesmo no valor inicial do índice n (nesse caso, 2 ).

Passo 4

Como os somatórios já possuem o mesmo índice n = 0 , não precisamos mexer nisso. Basta, então, juntar os somatórios colocando x n em evidência.

∑ n = 0 ∞ ( n + 2 ) ( n + 1 ) a n + 2 x n + ∑ n = 0 ∞ a n x n = 0

∑ n = 0 ∞ [ n + 2 n + 1 a n + 2 + a n ] x n = 0

Passo 5

Como x n ≠ 0 , devemos igualar o termo que multiplica a potência a zero.

n + 2 n + 1 a n + 2 + a n = 0

Encontramos nossa relação de recorrência.

Passo 6

Vamos agora, calcular alguns a n ’s. Como o problema não nos dá informações iniciais sobre a 0 ou a 1 , vamos encontrar respostas em função desses valores.

para   n = 0       →       0 + 2 0 + 1 a 0 + 2   + a 0 = 0       →       a 2 = - a 0 2

para   n = 1       →       1 + 2 1 + 1 a 1 + 2   + a 1 = 0       →       a 3 = - a 1 3 ⋅ 2

para   n = 2       →       2 + 2 2 + 1 a 2 + 2   + a 2 = 0       →       a 4 = - a 2 4 ⋅ 3 = a 0 4 ⋅ 3 ⋅ 2

para   n = 3       →       3 + 2 3 + 1 a 3 + 2   + a 3 = 0       →       a 5 = - a 3 5 ⋅ 4 = a 1 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2

para   n = 4       →       4 + 2 4 + 1 a 4 + 2   + a 4 = 0       →       a 6 = - a 4 6 ⋅ 5 = - a 0 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2

Temos, portanto, sinais alternados para os índices pares e para os ímpares. Para os pares, podemos escrever o seguinte:

a 2 p = - 1 p 2 p ! a 0