Solução de EDO – Ponto Ordinário

Teoria Completa

Introdução

Você provavelmente já está cansado de ouvir falar em séries, raio de convergência, intervalo de convergência, representação de funções etc. Para que serve isso tudo? Um dos motivos para você estudar isso tudo foi para chegar aqui: vamos ver como resolver equações diferenciais (EDO’s) de 2ª ordem usando séries.

Até o momento, acredito que você já saiba resolver uma EDO como esta daqui:

y ' ' - y = 0

É uma EDO, de coeficientes constantes portanto pode ser resolvido usando a equação característica:

r 2 - 1 = 0

Aí você resolvia essa equação e dependendo do , você teria esses três modelos de resposta aqui (vou colocar para você relembrar):

  1. ∆ > 0 : Encontramos duas raízes reais diferentes ( r 1 ≠ r 2 ) . Nesse caso, as soluções da EDO são do tipo y x = α e r 1 x + β e r 2 x ;
  2. ∆ = 0 : Encontramos uma raiz real dupla r . Nesse caso, as soluções da EDO são do tipo y x = ( α + β x ) e r x ;
  3. ∆ < 0 : Encontramos duas raízes complexas conjugadas r 1 = α + i β e r 2 = α - i β . Nesse caso, as soluções da EDO são do tipo y x = c 1 e α x cos ⁡ β x + c 2 e α x sen ⁡ β x

No nosso caso, a solução da equação característica é:

r = ± 1

Portanto estamos falando do primeiro caso, onde aresposta é:

y x = α e x + β e - x

Se fosse um problema de PVI (Problema de valor inicial) o problema te te informaria as informações iniciais, tipo y 0 = 1 e   y ' 0 = 0 , onde você substituiria na resposta para determinar o α e o β sendo ambos iguais a 1 / 2 nesse caso.

Beleza, mas a gente só refez essa EDO, pelo fato de ela ser a coeficientes constantes! E se ela não fosse assim, mas sim desse jeito aqui:

y ' ' - 2 x y ' + 2 y = 0

Nesse caso a gente não pode usar Equações Característica (por não ser a coeficientes constantes. Uma forma bem interessante de se resolver é usando Séries de Potências!

Solução de EDO por séries

Já vou avisando que o método não é fácil, ele é extenso mas entendendo os passos e praticando vai parecer mais natural! Vamos resolver o exemplo mostrando o passo a passo do método de solução.

Exemplo: Encontre a solução do problema de valor inicial abaixo:

y ' ' - 2 x y ' + 2 y = 0

Onde

y 0 = 1 ,     y ' 0 = 0

Passo 1: Primeiro, vamos supor logo de cara que a solução dessa EDO é uma série de potência centralizada no x = 0 :

y x = ∑ n = 0 ∞ a n x n = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 …

Essa é a série que representa y ( x ) . Escrevemos em torno do ponto x 0 = 0 pois as informações que o problema dá são nesse ponto . Ele é um ponto ordinário e você vai entender mais pra frente porque estou falando isso.

Esse a n representa os coeficientes de cada termo da série, pode ser qualquer expressão! Encontrando os a n ’s, nós definimos y ( x ) . É isso que faremos aqui !

Certo, se y ( x ) é dada por essa expressão, então podemos derivar:

y ' x = ∑ n = 0 ∞ a n x n ' = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 … ' =

∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1

E a derivada segunda é...

y ' ' x = ∑ n = 2 ∞ n ( n - 1 ) a n x n - 2

Veja que, quando derivamos pela 1ª vez, o termo constante a 0 desaparece do somatório, pois sua derivada é zero. Por isso, o somatório que representa y ' ( x ) começa em n = 1 . Quando derivamos pela 2ª vez, o segundo termo do somatório, a 1 x também desaparece, pois sua segunda derivada é zero. O somatório que representa y ' ' ( x ) começa, então, em n = 2 .

Calma, você vai entender por que derivamos a série!

Passo 2: Se f ( x ) , f ' ( x ) e f ' ' ( x ) são dadas por essas séries, substituindo essas expressões na EDO, não alteramos nada, não é? Continua sendo a mesma equação. Veja:

y ' ' - 2 x y ' + 2 y = 0     →  

∑ n = 2 ∞ n ( n - 1 ) a n x n - 2 - 2 x ∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1 + 2 ∑ n = 0 ∞ a n x n = 0

Podemos pegar esse x do lado de fora e passa-lo para dentro, lembrando que x ⋅ x n = x n + 1 ...

∑ n = 2 ∞ n ( n - 1 ) a n x n - 2 - 2 ∑ n = 1 ∞ n a n x n + 2 ∑ n = 0 ∞ a n x n = 0

Certo?

Passo 3: Precisamos juntar esses somatórios, para simplificar as coisas:

PRIMEIRO, vamos deixá-los com a mesma potência de x , nesse caso, x n . Veja com a primeira série:

∑ n = 2 ∞ n ( n - 1 ) a n x n - 2

Para ficarmos com o mesmo n no expoente, não concorda que precisamos somar 2 ? Afinal n - 2 + 2 = n . Então na prática, vamos colocar 2 na frente de todo n no somatório:

∑ n + 2 = 2 ∞ ( n + 2 ) ( n + 2 - 1 ) a n + 2 x n + 2 - 2

∑ n = 0 ∞ ( n + 2 ) ( n + 1 ) a n + 2 x n  

Viu só? E o legal é que não alteramos a série! Você pode vericar isso se quiser desmembrando os termos!

Claro, o índice do somatório mudou. E ele deve mudar, para compensar (mesmo raciocínio que temos com substituições nas integrais). Já que você adicionou 2 nos n ’s do somatório, o n deve começar agora duas unidades antes, para compensar: então você tira 2 no índice (no exemplo ele passou de n = 2 para n = 0 ).

Temos, então:

∑ n = 0 ∞ ( n + 2 ) ( n + 1 ) a n + 2 x n - ∑ n = 1 ∞ 2 n a n x n + ∑ n = 0 ∞ 2 a n x n = 0

SEGUNDO: Poxa! Para colocar essas duas séries dentro de uma só, ainda é necessário fazer os somatórios começarem do mesmo n = 1 que é o maior valor nesse exemplo. Para isso, basta você pegar as séries que estão diferentes e tirar o primeiro valor n = 0 :

Fazendo isso com a primeira série...

∑ n = 0 ∞ ( n + 2 ) ( n + 1 ) a n + 2 x n = ( 0 + 2 ) ( 0 + 1 ) a 0 + 2 x 0 + ∑ n = 1 ∞ ( n + 2 ) ( n + 1 ) a n + 2 x n   →

∑ n = 0 ∞ ( n + 2 ) ( n + 1 ) a n + 2 x n = 2 a 2 + ∑ n = 1 ∞ ( n + 2 ) ( n + 1 ) a n + 2 x n  

Fazendo o mesmo com a última série:

∑ n = 0 ∞ 2 a n x n = 2 a 0 + 2 ∑ n = 1 ∞ a n x n

Logo, podemos concluir o seguinte:

2 a 2 + ∑ n = 1 ∞ ( n + 2 ) ( n + 1 ) a n + 2 x n - ∑ n = 1 ∞ 2 n a n x n + 2 a 0 + ∑ n = 1 ∞ 2 a n x n = 0

Passo 4: Finalmente, vamos juntar os somatórios, colocando o x n em evidência.

Temos:

2 a 2 + 2 a 0 + ∑ n = 1 ∞ x n n + 2 n + 1 a n + 2 - 2 n a n + 2 a n = 0 →

2 a 2 + 2 a 0 + ∑ n = 1 ∞ x n n + 2 n + 1 a n + 2 + 2 a n 1 - n = 0 →

Passo 5: Veja que temos um somatório de termos positivos que é igual a zero, logo... o termo do colchetes deve ser zero. Além disso, 2 a 2 + 2 a 0 também deve ser 0 para essa igualde ser satisfeita. Então chegamos nisso daqui:

2 a 2 + 2 a 0 = 0 n + 2 n + 1 a n + 2 + 2 a n 1 - n = 0

Essa é a última relação é chamada de relação de recorrência dos coeficientes. Agora, com base nessa equação, vamos calcular alguns a n ’s e procurar uma expressão em função de n que o defina. Lembrando de usar as informações que o problema nos deu: y 0 = 1 ,   y ' 0 = 0 . Traduzindo isso para a representação em séries:

y x = ∑ n = 0 ∞ a n x n = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 …

y 0 = a 0 = 1

y ' 0 = a 1 = 0

E lembrando que

2 a 2 + 2 a 0 = 0   →         a 2 = - 1

Agora sim, com esses dados vamos usar a relação de recorrência:

n + 2 n + 1 a n + 2 + 2 a n 1 - n = 0

Arrumando mais um pouco:

a n + 2 = n - 1 n + 2 n + 1 2 a n   p a r a   n ≥ 1

A partir de agora, você sempre deve fazer o seguinte: substituir valores para n até encontrar um padrão e não precisar substituir mais (conseguir advinhar o termo de cabeça mesmo), veja:

p a r a     n = 1 → a 3 = 1 - 1 ( 1 + 2 ) ( 1 + 1 ) 2 a 1 = 0 p a r a     n = 2 → a 4 = 2 - 1 ( 2 + 2 ) ( 2 + 1 ) 2 a 2 = 1 4 ⋅ 3 2 a 2 p a r a     n = 3 → a 5 = 3 - 1 ( 3 + 2 ) ( 2 + 3 ) 2 a 3 = 2 5 ⋅ 4 2 a 3 p a r a     n = 4 → a 6 = 4 - 1 4 + 2 4 + 1 2 a 4 = 3 6 ⋅ 5 2 a 4 p a r a     n = 5 → a 7 = 5 - 1 5 + 2 5 + 1 2 a 5 = 4 7 ⋅ 6 2 a 5 p a r a     n = 6 → a 8 = 6 - 1 6 + 2 6 + 1 2 a 6 = 5 8 ⋅ 7 2 a 6

Eita! Que confusão é essa? SIM! Gera um bagulho doido no início, mas se você simplificar e substituir o valor de a 0 = 1 , a 1 = 0 e a 2 = - 1 e depois substituir cada valor que você for encontrando no próximo, olha o que você vai obter:

p a r a     n = 1 → a 3 = 0 p a r a     n = 2 → a 4 = 1 4 ⋅ 3 2 a 2 = - 1 4 ⋅ 3 2 p a r a     n = 3 → a 5 = 2 5 ⋅ 4 2 a 3 = 0 p a r a     n = 4 → a 6 = 3 6 ⋅ 5 2 a 4 = 3 6 ⋅ 5 2 - 1 4 ⋅ 3 2 = - 3 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 2 2 p a r a     n = 5 → a 7 = 4 7 ⋅ 6 2 a 5 = 0 p a r a     n = 6 → a 8 = 5 8 ⋅ 7 2 a 6 = 5 8 ⋅ 7 2 - 3 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 2 2 = - 5 ⋅ 3 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 2 3  

Perceba que sem fazer nenhuma conta, podemos falar quem são o a 9 e o a 10 , apenas observando o padrão:

a 9 = 0

a 10 = - 7 ⋅ 5 ⋅ 3 10 ⋅ 9 ∙ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 2 4

Podemos dividir por 2 e multiplicar por 2 ao mesmo tempo aí:

a 10 = - 7 ⋅ 5 ⋅ 3 10 ⋅ 9 ∙ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 2 5 = - 7 ⋅ 5 ⋅ 3 10 ! 2 5

Toda vez que conseguirmos advinhar o próximo termo sem fazer conta, significa que agente está preparado para o próximo passo:

Passo 6: Generalizar para quanlque a n :

Como podemos ver todos os a n ’s com n ímpar são iguais a zero. Se n = 2 p + 1 :

a n = a 2 p + 1 = 0

Já para os pares, se n = 2 p , podemos dizer o seguinte:

a 2 p = - 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ … ⋅ 2 p - 3 2 p ! 2 p

Esse 2 p - 3 aí é só pra indicar que o último termo do produto é três unidades a baixo do 2 p . Então se o 2 p = 10 , o último vai ser 7 como lá em cimaa gente viu o a 10 , saca?

Agora uma coisa que você pode anotar aí é que toda vez que a gente tem produto de termos ímpares, a gente pode fazer o seguinte truque:

  • Multiplica em cima e em baixo pelos pares que faltam (lembre-se de que o último termo antes do 2 p - 3