Enunciado

Use uma série de potências para aproximar a integral definida com precisão de seis casas decimais.

∫ 0 0,1 x   a r c t g 3 x d x

Passo 1

Primeiro precisamos descobrir qual a série de potência de   x   a r c t g 3 x , após encontra-lá podemos calcular a integral.

Para encontrar a série de potência de   x   a r c t g 3 x , vamos calcular primeiramente t g - 1 3 x .

Então a série de potência de t g - 1 ( 3 x ) é:

t g - 1 x = ∫ 1 1 + x ² d x = ∫ 1 - x 2 + x 4 - x 6 + … d x = C + x - x 3 3 + x 5 5 - x 7 7 + …  

Se fizermos x = 0 , temos que C = 0 .

Então:

t g - 1 x = x - x 3 3 + x 5 5 - x 7 7 + … = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n x 2 n + 1 2 n + 1

Logo:

t g - 1   3 x = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 3 x ) 2 n + 1 2 n + 1

Passo 2

Agora que já sabemos quem é a série de potência vamos calcular a integral:

∫ 0 0,1 x   a r c t g 3 x d x = ∫ 0 0,1 x   ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 3 x ) 2 n + 1 2 n + 1 d x = ∫ 0 0,1   ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n 3 2 n + 1 ∙ x 2 n + 2 2 n + 1 d x

∫ 0 0,1 x   a r c t g 3 x d x = C + ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n 3 2 n + 1 ∙ x 2 n + 3 ( 2 n + 1 ) ( 2 n + 3 ) 0 0,1 ≈ 0,000 983

Resposta

∫ 0 0,1 x   a r c t g 3 x d x = 0,000983

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