Enunciado

Demonstre que a série obtida no Exercício 12 representa cosh ⁡ x para todo x .

Passo 1

No exercício 12 encontramos a série

cosh ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ x 2 n ( 2 n ) !

Para que essa série represente a função, precisamos provar que seu erro R n → 0 para todo x , e nós conseguimos fazer isso usando a Desigualdade de Taylor que diz que se f n + 1 ( x ) ≤ M , então

R n x ≤ M n + 1 ! x - a n + 1

Como o centro é x = 0

R n x ≤ M n + 1 ! x n + 1

Passo 2

Para isso, precisamos saber como se comportam as derivadas de cosh ⁡ x , se derivarmos varias vezes, chegaremos sempre em senh ⁡ x ou cosh ⁡ x então de forma geral

f n + 1 x = senh ⁡ x ou f n + 1 x = cosh ⁡ x

Pelas definições das funções hiperbólicas, tiramos que

senh ⁡ x < cosh ⁡ x

Mas temos que cosh ⁡ x > 0 para todo x

senh ⁡ x < cosh ⁡ x = cosh ⁡ x

Logo

f n + 1 x ≤ cosh ⁡ x

Como M precisa ser um valor constante, vamos pegar um valor c que obedeça x < c , então podemos dizer que

f n + 1 x ≤ cosh ⁡ c

E podemos usar

M = cosh ⁡ c

Então na desigualdade temos

R n x ≤ cosh ⁡ c n + 1 ! x n + 1

Passo 3

Agora só precisamos aplicar o limite, para calcularmos o erro em uma série infinita. Temos que para uma função do tipo

lim n → ∞ ⁡ cosh ⁡ c n + 1 ! x n + 1 = 0

Como,   R n x ≤ cosh ⁡ c n + 1 ! x n + 1 . Então por comparação

lim n → ∞ ⁡ R n x = 0

Acamos de mostrar que R n → 0 para todo x . Logo, a série

∑ n = 0 ∞ x 2 n ( 2 n ) !

representa a função cosh ⁡ x para todo x .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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