Enunciado

Use multiplicação ou divisão de séries de potência para encontrar os três primeiros termos não nulos na série de Maclaurin para cada função.

Passo 1

Nesse exercício iremos analisar a seguinte função:

y = e x sen 2 ⁡ x

Podemos reescrever a função como:

y = e x sen ⁡ x sen ⁡ x

Conforme já visto anteriormente no exemplo 13 dessa seção:

e x sen ⁡ x = x + x 2 + 1 3 x 3 + …

E também sabemos que:

sen ⁡ x = x - 1 6 x 3 + 1 120 x 5 - …

Passo 2

Dessa forma, podemos reescrever y como:

y = x + x 2 + 1 3 x 3 + … x - 1 6 x 3 + 1 120 x 5 - …

Simplificando a função e escrevendo os termos com grau menor ou igual a 4, obtemos:

e x sen 2 ⁡ x = x 2 - 1 4 x 4 + x 3 + 1 3 x 4 + …

Passo 3

Sendo assim, simplificando a expressão e juntando os termos em comum, temos:

y = e x sen 2 ⁡ x = x 2 + x 3 + 1 6 x 4 + …

Resposta

y = e x sen 2 ⁡ x = x 2 + x 3 + 1 6 x 4 + …

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