Enunciado

Use séries para calcular o limite.

underset(x -> 0)(lim) (x - tg^(- 1) x)/(x^3)

Passo 1

Para calcular o limite vamos substituir tg^(- 1) x por sua série. Primeiramente derivando

(tg^(- 1) x)^' = (1)/(1 + x^2) = (1)/(1 - ( - x^2 ))

(tg^(- 1) x)^' = sum_(n = 0)^(oo) (- x^2)^n

(tg^(- 1) x)^' = sum_(n = 0)^(oo) (- 1)^n x^(2 n)

Integrando ambos os lados

int (tg^(- 1) x)^' d x = int sum_(n = 0)^(oo) (- 1)^n x^(2 n) d x

tg^(- 1) x = C + sum_(n = 0)^(oo) (- 1)^n (x^(2 n + 1))/(2 n + 1)

Para encontrar a constante, vamos calcular com x = 0

tg^(- 1) 0 = C + 0

C = 0

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tg^(- 1) x = sum_(n = 0)^(oo) (- 1)^n (x^(2 n + 1))/(2 n + 1)

tg^(- 1) x = x - (x^3)/(3) + (x^5)/(5) - (x^7)/(7) + ...

Passo 2

Substituindo no limite

underset(x -> 0)(lim) (x - tg^(- 1) x)/(x^3) = underset(x -> 0)(lim) (x - ( x - (x^3)/(3) + (x^5)/(5) - (x^7)/(7) + ... ))/(x^3)

underset(x -> 0)(lim) ((x^3)/(3) - (x^5)/(5) + (x^7)/(7) + ...)/(x^3)

Colocando x^3 em evidencia no numerador

underset(x -> 0)(lim) (x^3 ((1)/(3) - (x^2)/(5) + (x^4)/(7) + ...))/(x^3) = underset(x -> 0)(lim) ((1)/(3) - (x^2)/(5) + (x^4)/(7) + ...)

underset(x -> 0)(lim) (x - tg^(- 1) x)/(x^3) = (1)/(3)

Resposta

underset(x -> 0)(lim) (x - tg^(- 1) x)/(x^3) = (1)/(3)

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