Enunciado

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Alguns dos pioneiros do cálculo, como Kepler e Newton, foram inspirados pelo problema de encontrar os volumes de barris de vinho. (De fato, Kepler publicou um livro em 1615, Stereometria doliorum, dedicado aos métodos para encontrar os volumes de barris.) Eles frequentemente aproximavam a forma dos lados por parábolas.

  1. Um barril com altura A e raio máximo R é construído pela rotação ao redor do eixo da parábola y = R - c x ² , - h 2 ≤ x ≤ h 2 , onde c é uma constante positiva. Mostre que o raio de cada extremidade do barril é r = R - d , onde d = c h 2 / 4 .
  2. Mostre que o volume delimitado pelo barril é

V = 1 3 π r ( 2 R 2 + r 2 - 2 5 d 2 )

Passo 1

  1. O desenho é o seguinte:
  2. O raio do barril é o mesmo em cada extremidade por simetria, desde que a função y = R - c x ² seja a mesma. Como o barril é obtido pela rotação do gráfico da função y sobre o eixo x , o raio é igual ao valor de y em x = 1 2 h , que é R - c 1 2 h 2 = R - d = r .

    Passo 2

  3. O barril é simétrico sobre o eixo x , então o volume é duas vezes da parte do barril para x > 0 . Além disso, o barril é o volume de uma rotação, então:

V = 2 ∫ 0 h 2 π y 2 d x = 2 π ∫ 0 h 2 R - c x 2 2 d x = 2 π R 2 x - 2 3 R c x 3 + 1 5 c 2 x 5 0 h 2 =

2 π 1 2 R 2 h - 1 12 R c h 3 + 1 160 c 2 h 5

Passo 2

(b) Tentando fazer com que pareça mais com a expressão que queremos, nós a reescrevemos como

V = 1 3 π h 2 R 2 + R 2 - 1 2 R c h 2 + 3 80 c 2 h 4

Além disso, podemos reescrever a parte interior da seguinte forma:

R 2 - 1 2 R c h 2 + 3 80 c 2 h 4 = R - 1 4 c h 2 2 - 1 40 c 2 h 4 = R - d 2 - 2 5 1 4 c h 2 2 =

r 2 - 2 5 d ²

Substituindo novamente em V , temos que

V = 1 π h 3 2 R 2 + r 2 - 2 5 d 2

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