Enunciado

Alguns dos pioneiros do cálculo, como Kepler e Newton, foram inspirados pelo problema de encontrar os volumes de barris de vinho. (De fato, Kepler publicou um livro em 1615, Stereometria doliorum, dedicado aos métodos para encontrar os volumes de barris.) Eles frequentemente aproximavam a forma dos lados por parábolas.

  1. Um barril com altura A e raio máximo R é construído pela rotação ao redor do eixo da parábola y = R - c x ² , - h 2 ≤ x ≤ h 2 , onde c é uma constante positiva. Mostre que o raio de cada extremidade do barril é r = R - d , onde d = c h 2 / 4 .
  2. Mostre que o volume delimitado pelo barril é

V = 1 3 π r ( 2 R 2 + r 2 - 2 5 d 2 )

Passo 1

Falaeee, belezinha?? Bom... a questão quer que demonstremos que o raio de cada extremidade do barril é r = R - d , onde d = c h 2 / 4 .

Para isso, a questão nos diz que o barril com altura A e raio máximo R é construído pela rotação ao redor do eixo da parábola y = R - c x ² , - h 2 ≤ x ≤ h 2 , onde c é uma constante positiva.

Nesse sentido, podemos calcular o volume V da seguinte forma:

V = ∫ a b A x d x

Em seguida, a questão quer que mostremos que o volume delimitado pelo barril é dado por:

V = 1 3 π r ( 2 R 2 + r 2 - 2 5 d 2 )

E aí?? Bora lá?? 😉

Passo 2

Para ficar melhor nossa visualização, vamos observar a figura abaixo:

O raio do barril é o mesmo em cada extremidade por simetria, desde que a função y = R - c x ² seja a mesma.

Como o barril é obtido pela rotação do gráfico da função y sobre o eixo x , o raio é igual ao valor de y em x = 1 2 h , que é R - c 1 2 h 2 = R - d = r .

Passo 3

O barril é simétrico sobre o eixo x , então o volume é duas vezes da parte do barril para x > 0 .

Além disso, o barril é o volume de uma rotação, então:

V = 2 ∫ 0 h 2 π y 2 d x ∴

V = 2 π ∫ 0 h 2 R - c x 2 2 d x ∴

V = 2 π R 2 x - 2 3 R c x 3 + 1 5 c 2 x 5 0 h 2 ∴

V = 2 π 1 2 R 2 h - 1 12 R c h 3 + 1 160 c 2 h 5

Passo 4

Tentando fazer com que pareça mais com a expressão que queremos, nós a reescrevemos como

V = 1 3 π h 2 R 2 + R 2 - 1 2 R c h 2 + 3 80 c 2 h 4

Além disso, podemos reescrever a parte interior da seguinte forma:

R 2 - 1 2 R c h 2 + 3 80 c 2 h 4 =

= R - 1 4 c h 2 2 - 1 40 c 2 h 4 =

= R - d 2 - 2 5 1 4 c h 2 2 =

= r 2 - 2 5 d ²

Substituindo novamente em V , temos que

V = 1 π h 3 2 R 2 + r 2 - 2 5 d 2

Entendeu direitinho?? Responde aee!! 😉

Resposta

Demonstração

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Ache o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno da reta indicada, da região limitada pela curva y = x , pelo eixo x e pela reta x = 4 Ao redor do eixo x
Ache o volume do sólido de revolução geradp éça rotação, em torno da reta indicada, da região limitada pela curva y = x , pelo eixo x e pela reta 4 .O eixo y
Ache o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno da reta indicada, da região limitada pela curva y = x , pelo eixo x e pela reta x = 4 Ao redor da reta y = 2
Ache o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pela curva y = cosec ⁡ x , pelo eixo x , e pelas retas x = π 6 e x = π 3 em torno do eixo x .
A região limitada pela curva y = tg ⁡ x , pela reta x = π 3 e pelo eixo x é gira em torno do eixo x . Ache o volume do sólido gerado.