Enunciado

Use a soma dos dez primeiros termos para aproximar a soma da série. Estime o erro.

33-

∑ n = 1 ∞ 1 n 4 + n 2

Passo 1

Vamos fazer a conta dos dez primeiros termos dessa série:

s 10 = 1 1 4 + 1 2 + 1 2 4 + 2 2 + … 1 10 4 + 10 2 = 0.567975

É um tanto cansativo mas utilizando a função x - 1 na tradicional CASIO fx-82MS nós conseguimos fazer essa conta certa rapidez.

Passo 2

Utilizando o exemplo 5 na página 732 como base temos que essa série pode ser aproximada sem muitas perdas para:

∑ n = 1 ∞ 1 n 4

Justamente por que no infinito o termo com maior potência é o que fará maior influência e trará um comportamento mais parecido com a original, logo o erro causado por utilizar essa equação para os dez primeiros será igual a:

R 10 ≤ ∫ 10 ∞ 1 x 4   d x

Pois é o erro causado por ignorar todos os outros termos após 10 .

R 10 ≤ - 1 3 x 3 10 ∞

R 10 ≤ - 1 3 × ∞ + 1 3 × 10 3  

R 10 ≤ 3.3333 × 10 - 4

Como fizemos pela integral sabemos que a integral considera umas áreas pequenas como resposta, logo a resposta será menor que o valor encontrado, bastante suficiente para nossa aproximação.

A aproximação para 1 / n 4 deixa nossa conta mais simples e rápida. E temos que considerar a área formada pelo quadrado 10 também na conta.

Resposta

R 10 ≤ 3.3333 × 10 - 4

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