Enunciado

  1. Em que aspectos os teoremas de Fubini e Clairaut são semelhantes?
  2. Se f ( x , y ) é continuo em a , b × c , d e

g x , y = ∫ a x ∫ c y f s , t d t d s

para a < x < b , c < y < d , mostre que g x y = g y x = f ( x , y ) .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Em termos gerais, o Teorema de Fubini diz que a ordem de integração de uma função de duas variáveis não afeta o valor da integral dupla. Já o Teorema de Clairaut diz que a ordem de derivação de uma função não afeta o valor da derivada de segunda ordem.

Além disso, ambos os teoremas requerem continuidade para serem aplicados. O teorema de Fubini permite que um número finito de curvas suaves contenha descontinuidade, mas em termos gerais podemos considerar estas semelhanças.

Passo 2

Neste passo resolveremos o item b.

Para descobrir g x y , mantemos y constante e usamos o Teorema Fundamental do Cálculo para uma variável.

Temos que:

g x = d d x g x , y

g x = d d x ∫ a x ∫ c y f s , t d t d s

g x = ∫ c y f x , t d t

Agora usaremos o Teorema novamente:

g x y = d d y ∫ c y f x , t d t

Logo:

g x y = f x , y

Para descobrir g y x podemos aplicar o Teorema de Fubini que é:

∫ a b ∫ c d f x , y d y d x = ∫ c d ∫ a b f x , y d x d y

Aplicando ao problema, temos:

∫ a x ∫ c y f s , t d t d s = ∫ c y ∫ a x f s , t d s d t

Logo:

g y = d d y ∫ c y ∫ a x f s , t d s d t

g y = ∫ a x f s , y d s

E:

g y x = f x , y

Logo:

g x y = g y x = f x , y

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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