Enunciado

  1. Use a Tabela de Integrais para calcular a integral. (b) Se o leitor dispuser de um CAS, use-o para calcular a integral e, então, confirme que o resultado é equivalente ao que foi obtido em (a).

∫ ln ⁡ x x 3 d x

Passo 1

Conhecemos a nossa integral:

∫ ln ⁡ x x 3 d x

Que podemos reescrever como:

∫ x - 3 2 ln ⁡ x d x

O exercício requer que usemos a tabela de integral para realizar o cálculo. Usaremos a fórmula que diz que :

∫ x n ln ⁡ x d x = x n + 1 n + 1 2 n + 1 ln ⁡ x - 1 + C

Passo 2

  1. Usando a fórmula dada, chamaremos:

n = - 3 2

Se :

∫ x n ln ⁡ x d x = x n + 1 n + 1 2 n + 1 ln ⁡ x - 1 + C

Substituindo na fórmula, temos:

∫ x - 3 2 ln ⁡ x d x = x - 3 2 + 1 - 3 2 + 1 2 - 3 2 + 1 ln ⁡ x - 1 + C

Reescrevendo, temos:

∫ x - 3 2 ln ⁡ x d x = x - 1 2 - 1 2 2 - 1 2 ln ⁡ x - 1 + C

Calculando:

∫ x - 3 2 ln ⁡ x d x = x - 1 2 1 4 - 1 2 ln ⁡ x - 1 + C

Dessa forma:

∫ x - 3 2 ln ⁡ x d x = 4 x - 1 2 ln ⁡ x - 1 + C

Multiplicando:

∫ x - 3 2 ln ⁡ x d x = - 4 ln ⁡ x 2 x - 4 x + C

Simplificando:

∫ x - 3 2 ln ⁡ x d x = - 2 ln ⁡ x x - 4 x + C

Resposta

∫ x - 3 2 ln ⁡ x d x = - 2 ln ⁡ x x - 4 x + C

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