Enunciado

  1. Faça a substituição u indicada e, então, use a Tabela de Integrais para calcular a integral. (b) Se o leitor dispuser de um CAS, use-o para calcular a integral e, então, prove que o resultado é equivalente ao encontro em (a).

∫ 1 x ( 9 x + 4 ) d x             ,     u = 3 x

Passo 1

Para resolver esse exercício, fazermos as substituições com:

    u = 3 x

u 2 = 9 x

d u = 3 2 x d x

Então, podemos dizer que:

∫ 1 x ( 9 x + 4 ) d x

Substituindo u , temos:

∫ 1 x ( 9 x + 4 ) d x = 2 3 ∫ 1 ( u 2 + 4 ) d u

Retirando a constante de dentro da integral:

∫ 1 x ( 9 x + 4 ) d x = 2 3 ∫ 1 ( u 2 + 4 ) d u

Resolveremos a integral aplicando na seguinte fórmula:

∫ 1 a 2 + u 2 d u = 1 a arc tg ⁡ u a + C

Se a = 2 :

∫ 1 x ( 9 x + 4 ) d x = 1 3 arc tg ⁡ u 2 + C

Substituindo u = 3 x :

∫ 1 x ( 9 x + 4 ) d x = 1 3 arc tg ⁡ 3 x 2 + C

Resposta

∫ 1 x ( 9 x + 4 ) d x = 1 3 arc tg ⁡ 3 x 2 + C

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