Enunciado

Use a tabela de valores de f ( x , y ) para estimar os valores de f x 3,2 , f x 3 ,   2,2 e f x y 3,2 .

Passo 1

Show de bola, galera! Precisamos ver como vamos fazer pra estimar aquelas derivadas parciais do enunciado...Partiu?

Primeiro, vamos fazer 2 estimas para f x 3,2 e usar a média dessas estimativas como estimativa final. Ficou confuso?

Vamos fazer o seguinte:

f x , 1 3,2  estimativa 1 para  f x 3,2

f x , 2 3,2  estimativa 2 para  f x 3,2

f x 3,2 ≅ f x , 1 3,2 + f x , 2 3,2 2

Depois disso, vamos repetir a dose para f x 3 ,   2,2 , ou seja:

f x , 1 3 ,   2 , 2  estimativa 1 para  f x 3 ,   2 , 2

f x , 2 3 ,   2 , 2  estimativa 2 para  f x 3 ,   2 , 2

f x 3 ,   2 , 2 ≅ f x , 1 3 ,   2 , 2 + f x , 2 3 ,   2 , 2 2

Por último, vamos aproveitar essas 2 primeiras estimativas de f x 3,2 e de f x 3 ,   2,2 para calcular a seguinte estimativa:

f x y 3,2 ≅ f x 3 ,   2 , 2 - f x 3,2 0 , 2

Vamos às contas agora!

Passo 2

f x , 1 3 , 2 = f 3 . 5 , 2 ⏞ 22 , 4 - f 3,2 ⏞ 17,5 0,5 = 9,8

f x , 2 3,2 = f 2.5 , 2 ⏞ 10,2 - f 3,2 ⏞ 17,5 - 0,5 = 14,6

f x , 1 3 ,   2 , 2 = f 3 . 5 ,   2,2 ⏞ 26,1 - f 3 ,   2,2 ⏞ 17,5 0,5 = 17,2

f x , 2 3 ,   2 , 2 = f 2.5 ,   2,2 ⏞ 9,3 - f 3 ,   2,2 ⏞ 17,5 - 0,5 = 16,4

Assiiimm....

f x 3,2 ≅ f x , 1 3,2 + f x , 2 3,2 2 = 9,8 + 14,6 2 = 1 2 , 2

f x 3 ,   2 , 2 ≅ f x , 1 3 ,   2 , 2 + f x , 2 3 ,   2 , 2 2 = 17,2 + 16,4 2 = 16,8

f x y 3,2 ≅ f x 3 ,   2 , 2 - f x 3,2 0,2 = 16,8 - 12,2 0,2 = 23

Resposta

f x 3,2 ≅ 12,2

f x 3 ,   2,2 ≅ 16,8

f x y 3,2 ≅ 23

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11. Sejam x = x ( u , v ) e y = y u , v duas funções que admitem derivadas parciais num mesmo aberto A . Suponha que (1,1) ∈ e que x 1,10 . Suponha, ainda, que para todo ( u , v ) ∈ A x 3 + y 3 = u -
10. Seja u = f x - a t + g ( x + a t ) , onde f e g são duas funções quaiquer de uma variável real ederiváveis até a 2ª ordem. Verifique que ∂ 2 u ∂ t 2 = a 2 ∂ 2 u ∂ x 2 .
12. Seja z = x y e x y . Verifique que x ∂ 3 z ∂ x 3 + y ∂ 3 z ∂ y∂ x 2 = 0 .
8. Seja f x , y = x y x 2 - y 2 x 2 + y 2s ex , y ≠ 0,0 0s ex , y = 0,0 . Calcule ∂ 2 f ∂ x∂ y 0,0 e ∂ 2 f ∂ y∂ x 0,0 .
15. Seja z = f x , y ,x , y ∈ A , com A aberto. Suponha que ∂ f ∂ x e ∂ f ∂ y estão definidas em A e que ∂ 2 f ∂ x∂ y e ∂ f ∂ y∂ x são contínuas em A. Seja ( x 0 , y 0 ) um ponto qualquer de A ; seja