Enunciado

Use o Teorema 5.6.8 para determinar qual dos símbolos ou deve ser inserido onde indicado.

∫ 0 π / 4 cos ⁡ x   d x   _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ∫ 0 π / 4 sen ⁡ x   d x  

(Teorema dado no livro)

Passo 1

O Teorema citado na questão diz que se temos duas função f x e g ( x ) integráveis no intervalo [ a , b ] , se tivermos f ( x ) ≥ g ( x ) para todo x no intervalo, teremos então ∫ a b f x d x ≥ ∫ a b g x d x . O que queremos é então provar que uma das funções dadas é sempre maior que a outra no intervalo [ 0 , π 4 ] , para então aplicar o teorema.

Passo 2

Se esboçarmos as funções seno e cosseno no intervalo [ 0 , π 4 ] , percebemos que o cosseno é maior que o seno em x = 0 e ao longo do intervalo, e no final do intervalo temos sen ⁡ π 4 = cos ⁡ π 4 = 2 2 . Podemos afirmar então que cos ⁡ x ≥ sen ⁡ x no intervalo, e então aplicando o teorema a primeira integral será maior ou igual à primeira.

Resposta

∫ 0 π / 4 cos ⁡ x   d x   ≥ ∫ 0 π / 4 sen ⁡ x   d x  

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Faça o gráfico de f ( x ) no intervalo dado. Divida o intervalo em quatro subintervalos de comprimento igual. Em seguida, adicione os retângulos associados com a soma de Riemann ∑ k = 1 4 f ( c k ) Δ
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Determine a fórmula para a soma de Riemann obtida dividindo o intervalo [ a , b ] em n subintervalos iguais e usando a extremidade direita para cada c k . Depois, tome o limite dessas somas quando n →
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