Calcule a integral definida

∫ 0 π 3 cos 2 ⁡ x   d x

usando os resultados:

∫ 0 π sen ⁡ x d x = 2             ∫ 0 π cos ⁡ x   d x = 0 ∫ 0 π sen 2 ⁡ x   d x = 1 2 π

Passo 1

Queremos colocar a integral do problema em termos de ∫ 0 π sen ⁡ x d x , ∫ 0 π cos ⁡ x   d x e/ou ∫ 0 π sen 2 ⁡ x   d x , para substituirmos pelos valores dados pelo enunciado. Mas temos na integral só o cos 2 ⁡ x , então o que fazer? Sempre podemos achar sen 2 ⁡ x através de cos 2 ⁡ x e vice versa, através de uma identidade importantíssima, a identidade trigonométrica fundamental:

sen 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x = 1 ⇒ cos 2 ⁡ x = 1 - sen 2 ⁡ x

Substituindo então na integral, ela fica:

∫ 0 π 3 cos 2 ⁡ x   d x = ∫ 0 π 3 ( 1 - sen 2 ⁡ x )   d x

Agora temos a integral em termos de sen 2 ⁡ x , então podemos calculá-la usando as propriedades de integral e com os dados do problema.

Passo 2

Podemos dividir a integral em duas partes:

∫ 0 π 3 ( 1 - sen 2 ⁡ x )   d x =   ∫ 0 π ( 3 - 3 sen 2 ⁡ x )   d x =   ∫ 0 π 3   d x - ∫ 0 π 3 sen 2 ⁡ x   d x

Agora, tirando as constantes de dentro das integrais:

∫ 0 π 3   d x - ∫ 0 π 3 sen 2 ⁡ x   d x = 3 ∫ 0 π d x - 3 ∫ 0 π sen 2 ⁡ x   d x

Já temos então o que queríamos, basta resolver o resto por substituição direta dos dados do problema.

Passo 3

Usando os dados do problema e substituindo, chegamos no resultado final

3 ∫ 0 π d x - 3 ∫ 0 π sen 2 ⁡ x   d x = 3 π - 0 - 3 ⋅ 1 2 π = 3 π - 3 2 π

= 6 2 - 3 2 π = 3 2 π

Resposta

∫ 0 π 3 cos 2 ⁡ x   d x = 3 2 π

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