Enunciado

Calcule a integral definida

int_0^(pi) 3 cos^2 x d x

usando os resultados:

int_0^(pi) sen x d x = 2 int_0^(pi) cos x d x = 0 int_0^(pi) sen^2 x d x = (1)/(2) pi

Passo 1

Queremos colocar a integral do problema em termos de int_0^(pi) sen x d x , int_0^(pi) cos x d x e/ou int_0^(pi) sen^2 x d x , para substituirmos pelos valores dados pelo enunciado. Mas temos na integral só o cos^2 x , então o que fazer? Sempre podemos achar sen^2 x através de cos^2 x e vice versa, através de uma identidade importantíssima, a identidade trigonométrica fundamental:

sen^2 x + cos^2 x = 1 => cos^2 x = 1 - sen^2 x

Substituindo então na integral, ela fica:

int_0^(pi) 3 cos^2 x d x = int_0^(pi) 3 ( 1 - sen^2 x ) d x

Agora temos a integral em termos de sen^2 x , então podemos calculá-la usando as propriedades de integral e com os dados do problema.

Passo 2

Podemos dividir a integral em duas partes:

int_0^(pi) 3 ( 1 - sen^2 x ) d x = int_0^(pi) ( 3 - 3 sen^2 x ) d x = int_0^(pi) 3 d x - int_0^(pi) 3 sen^2 x d x

Agora, tirando as constantes de dentro das integrais:

int_0^(pi) 3 d x - int_0^(pi) 3 sen^2 x d x = 3 int_0^(pi) d x - 3 int_0^(pi) sen^2 x d x

Já temos então o que queríamos, basta resolver o resto por substituição direta dos dados do problema.

Passo 3

Usando os dados do problema e substituindo, chegamos no resultado final

3 int_0^(pi) d x - 3 int_0^(pi) sen^2 x d x = 3 (pi - 0) - 3 * (1)/(2) pi = 3 pi - (3)/(2) pi

= ((6)/(2) - (3)/(2)) pi = (3)/(2) pi

Resposta

int_0^(pi) 3 cos^2 x d x = (3)/(2) pi

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Resolva o problema de valor inicial. d 2 r d t 2 = 15 t + 3 t; r ' 1 = 8,r 1 = 0
Resolva o problema de valor inicial: d 3 r d t 3 =- c o s t r ' ' 0 = r ' 0 = 0 , r 0 =- 1
Calcule ∫ - π π sin ⁡ n x cos ⁡ n x d x
1.Calcule ∫ - π π sin ⁡ m x sin ⁡ n x d x
1.Calcule ∫ - π 2 π 2 sin ⁡ 3 x sin ⁡ 4 x d x