Enunciado

Use o Teorema 5.6.8 para determinar qual dos símbolos ou deve ser inserido onde indicado.

∫ 4 5 6 - x   d x   _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ∫ 4 5 x - 2   d x

(Teorema dado no livro)

Passo 1

O Teorema citado na questão diz que se temos duas função f x e g ( x ) integráveis no intervalo [ a , b ] , se tivermos f ( x ) ≥ g ( x ) para todo x no intervalo, teremos então ∫ a b f x d x ≥ ∫ a b g x d x . O que queremos é então provar que uma das funções dadas é sempre maior que a outra no intervalo [ 4 ,   5 ] , para então aplicar o teorema.

Passo 2

Uma coisa muito útil de ser feita para compararmos duas funções é olhar para sua diferença. Subtraindo a segunda da primeira e chamando a função resultante de h ( x ) , temos:

h x = 6 - x - x - 2

Podemos deixar essa subtração mais fácil de ser analisada racionalizando. Multiplicamos em cima e em baixo pelo conjugado:

h x = 6 - x - x - 2 ⋅ 6 - x + x - 2 6 - x + x - 2 = 6 - x - x - 2 6 - x + x - 2

= 6 - x - x + 2 6 - x + x - 2 = 8 - 2 x 6 - x + x - 2

Agora que temos a expressão da diferença entre as funções, podemos compará-las.

Passo 3

h x = 8 - 2 x 6 - x + x - 2

O denominador é uma soma de raízes quadradas, então sempre é positivo quando existir. Precisamos então analisar o sinal do numerador no intervalo [ 4,5 ] . A função u x = 8 - 2 x zera para x = 4 , e é negativa para valores maiores. Sendo assim, temos h x = 0 para x = 4 e h x < 0 para x > 4 . Como a diferença entre a primeira e a segunda é um número negativo ou zero, sabemos então que a primeira função é menor ou igual à segunda no intervalo dado. Logo, aplicando o teorema, a primeira integral será menor ou igual à segunda.

Resposta

∫ 4 5 6 - x   d x   ≤ ∫ 4 5 x - 2   d x

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