Enunciado

Determine a fórmula para a soma de Riemann obtida dividindo o intervalo [ a , b ] em n subintervalos iguais e usando a extremidade direita para cada c k . Depois, tome o limite dessas somas quando n → ∞ para calcular a área sob a curva ao longo de [ a , b ] .

f x = 2 x 3 ao longo do intervalo [ 0,1 ] .

Passo 1

A questão nos pede duas coisas: expressar a soma de Riemann e depois calculá-la. Então, o nosso primeiro passo é escrever esta soma. Vejamos então como ela é expressa:

S P = ∑ i = 1 n f c i Δ x i

Em que Δ x é a norma da partição ( | | P | | ) e c i o valor do ponto que iremos trabalhar, o qual no caso é a extremidade direita de cada subintervalo. Portanto, precisamos determinar primeiramente estes dois parâmetros para que possamos escrever a soma de Riemann. E, só depois disto, poderemos calcular o seguinte limite:

lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f c i Δ x i

Vamos as contas!

Passo 2

Vamos começar por determinar a norma da nossa partição. Isto é, o maior comprimento dos subintervalos. Como a questão nos pediu para dividir em n subintervalos iguais, temos:

Δ x = x f - x 0 n = 1 - 0 n = 1 n

Passo 3

Como os nossos pontos c i são dados pela extremidade direita dos subintervalos, cada um deles pode ser obtido através da seguinte expressão:

c i = i Δ x = i n

Passo 4

Agora, podemos escrever a nossa soma de Riemann. Assim, temos:

S P = ∑ i = 1 n f c i Δ x i

S P = ∑ i = 1 n 2 i n 3 ⋅ 1 n  

S P = ∑ i = 1 n 2 i 3 n 4  

S P = 2 n 4 ⋅ ∑ i = 1 n i 3

Passo 5

Se utilizarmos a fórmula da soma nos primeiros n cubos, temos:

S P = 2 n 4 ⋅ n n + 1 2 2

S P = 2 n 4 ⋅ n 2 ( n 2 + 2 n + 1 ) 4

S P = n 2 + 2 n + 1 2 n 2

S P = 1 2 + 1 n + 1 2 n 2

Passo 6

Agora, basta resolvermos o limite de n → ∞ . Portanto:

lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f c i Δ x i = lim n → ∞ ⁡ 1 2 + 1 n + 1 2 n 2 = 1 2

Resposta

A soma de Riemann é dada por:

S P = 2 n 4 ⋅ ∑ i = 1 n i 3

Quando n → ∞ a área abaixo da curva no intervalo [ 0,1 ] é dado por:

1 2

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i)∫ 1 x + 1 x 2 d x
q)∫ 1 x + 1 e x d x
g)∫ 1 x 3 d x
f)∫ x - 4 d x
l)∫ x + 1 x d x