Enunciado

a) Prove que todo polinômio de grau 3 admite pelo menos uma raiz real.

b) Prove que todo polinômio de grau ímpar admite pelo menos uma raiz real.

Passo 1

a) Temos que todo polinômio de terceiro grau é dado por:

f x = a x 3 + b x 2 + c x + d

Com a ≠ 0 .

Para a > 0 , temos que lim x → + ∞ ⁡ f x = + ∞ e lim x → - ∞ ⁡ f x = - ∞ ;

Para a < 0 , temos que lim x → + ∞ ⁡ f x = - ∞ e lim x → - ∞ ⁡ f x = + ∞ ;

Em ambos os casos temos que a função é continua, assim. Em algum ponto a função muda o sinal pois nos infinitos, temos valores de sinais opostos. Logo todo polinômio de grau 3 admite pelo menos uma raiz real.

Passo 2

b) O polinômio de grau n é da lei de:

f x = a 0 x n + a 1 x n - 1 + a 2 x n - 2 + … + a n - 2 x 2 + a n - 1 x + a n

Com a 0 ≠ 0 .

Para a 0 > 0 , temos que lim x → + ∞ ⁡ f x = + ∞ e lim x → - ∞ ⁡ f x = - ∞ ;

Para a 0 < 0 , temos que lim x → + ∞ ⁡ f x = - ∞ e lim x → - ∞ ⁡ f x = + ∞ ;

Lembrando que todo polinômio é contínuo em R , em ambos os casos temos pelo menos um ponto onde a função muda o sinal pois nos infinitos, temos valores de sinais opostos e, consequentemente, passa no 0 em algum momento. Logo todo polinômio de grau n admite pelo menos uma raiz real.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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