Enunciado

Use o Teorema da Divergência para calcular a integral superfície ∬ S F . d S , ou seja, calcule o fluxo de F através de S .

F = e y tan ⁡ z i + y 3 - x 2 j + x sen ⁡ y k

S é a superfície de um ´solido que está acima do plano x y e abaixo da superfície z = 2 - x 4 - y 4 , - 1 ≤ x ≤ 1 , - 1 ≤ y ≤ 1 .

Passo 1

Galera, o Teorema da Divergência ou Teorema de Gauss é o seguinte: se temos um região sólida E e seja S uma superfície que faz fronteira com E , orientada positivamente (para fora) e F é um mcapo vetorial cujas funções componentes tenham derivadas parciais contínuas em um região aberta que contenha E ,

∬ S F . d S = ∭ E d i v F   d V

Seja F = P i + Q j + R k . Então,

d i v F = ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z

Temos, então, que nosso campo vetorial é dado por F = e y tan ⁡ z i + y 3 - x 2 j + x sen ⁡ y k . Vamos calcular o divergente dele!

d i v F = 0 + 3 - x 2 + 0 = 3 - x 2

Passo 2

Vamos aplicar agora o Teorema da Divergência! A variável x varia no intervalo [ - 1,1 ] , assim como y . No caso de z , ela vai variar de zero até a superfície, ou seja, z = 2 - x 4 - y 4 . Assim,

∬ S F . d S = ∫ - 1 1 ∫ - 1 1 ∫ 0 2 - x 4 - y 4 3 - x 2 d z d y d x

∬ S F . d S = ∫ - 1 1 ∫ - 1 1 ( 2 - x 4 - y 4 ) 3 - x 2 d y d x

∬ S F . d S = ∫ - 1 1 3 - x 2 d x 2 y - y x 4 - y 5 5 - 1 1

∬ S F . d S = ∫ - 1 1 3 - x 2 d x 2 - x 4 - 1 5 5 - 2 - 1 + - 1 x 4 + - 1 5 5

∬ S F . d S = ∫ - 1 1 3 - x 2 d x 4 - 2 x 4 - 2 5

∬ S F . d S = ∫ - 1 1 3 - x 2 d x 18 5 - 2 x 4

∬ S F . d S = 341 60 2 + 81 20 sin - 1 ⁡ 3 3

Resposta

Logo, ∬ S F . d S = 341 60 2 + 81 20 sin - 1 ⁡ 3 3

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Um sólido ocupa a região E com superfície S e está imerso em um líquido com densidade constante ρ . Escolhemos um sistema de coordenadas de modo que o plano x y coincida com a superfície do liquido e
A figura mostra um campo vetorial F → . Use a interpretação do divergente deduzida nessa seção para determinar se d i vF → é positivo ou negativo em P 1 e P 2
Os pontos P 1 e P 2 são fontes ou sorvedouros no campo vetorial F → mostrado na figura? Dê uma explicação baseada exclusivamente na figura.Dado que F → x , y = x , y 2 , use a definição de divergente
Use o teorema do divergente para calcular a integral de superfície ∯ S F → ⋅ d S → ∯ ; ou seja, calcule o fluxo de F → através de S . F → x , y , z = x y e 2 i ^ + x y 2 z 3 j ^ - y e z k ^ , S é a su
Verifique se o teorema do Divergente é verdadeiro para o campo vetorial F → na região E . F → x , y , z = ( z ,y ,x ) , E é a bola sólida x 2 + y 2 + z 2 ≤ 16 .