Enunciado

Use o Teorema da Divergência para calcular a integral superfície ∬ S F . d S , ou seja, calcule o fluxo de F através de S .

F = r 2 r ,   r = x i + y j + z k

S é a esfera com raio R e centrada na origem.

Passo 1

Galera, o Teorema da Divergência ou Teorema de Gauss é o seguinte: se temos um região sólida E e seja S uma superfície que faz fronteira com E , orientada positivamente (para fora) e F é um mcapo vetorial cujas funções componentes tenham derivadas parciais contínuas em um região aberta que contenha E ,

∬ S F . d S = ∭ E d i v F   d V

Seja F = P i + Q j + R k . Então,

d i v F = ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z

Vamos escrever de uma maneira mais fácil nosso campo vetorial. F é o produto do módo de r por r . O módul ode r é dado por:

r = x 2 + y 2 + z 2 → r 2 = x 2 + y 2 + z 2

Temos, então, que nosso campo vetorial é dado por F = ( x 3 + x y 2 + x z 2 ) i + ( y x 2 + y 3 + y z 2 ) j + ( z x 2 + z y 2 + z 3 ) k . Vamos calcular o divergente dele!

d i v F = 3 x 2 + y 2 + z 2 + x 2 + 3 y 2 + z 2 + x 2 + y 2 + 3 z 2

d i v F = 3 x 2 + y 2 + z 2 + 2 x 2 + y 2 + z 2 = 5 ( x 2 + y 2 + z 2 )

Passo 2

Vamos aplicar agora o Teorema da Divergência! A melhor coisa que podemos fazer aqui é passar para coordenadas esféricas, para facilitar a vida da gente. Assim,

∬ S F . d S = ∫ 0 2 π ∫ 0 π ∫ 0 R 5 ρ 2 ρ 2 sen ⁡ ϕ d ρ d ϕ d θ

∬ S F . d S = ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 π sen ⁡ ϕ d ϕ ∫ 0 R 5 ρ 4 d ρ

∬ S F . d S = θ 0 2 π - cos ⁡ ϕ 0 π 5 ρ 5 5 0 R

∬ S F . d S = 2 π R 5 [ - ( cos ⁡ π - cos ⁡ 0 ) = 4 π R 5

Resposta

Logo, ∬ S F . d S = 4 π R 5

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Use o teorema do divergente para calcular a integral de superfície ∯ S F → ⋅ d S → ∯ ; ou seja, calcule o fluxo de F → através de S . F → x , y , z = ( x 3 + y 3 ) i ^ + ( y 3 + z 3 ) j ^ + ( z 3 + x
Verifique se o teorema do Divergente é verdadeiro para o campo vetorial F → na região E . F → x , y , z = ( x 2 ,- y ,z ) , E é o cilindro sólido y 2 + z 2 ≤ 9 , 0 ≤ x ≤ 2 .
Use o teorema do divergente para calcular a integral de superfície ∯ S F → ⋅ d S → ∯ ; ou seja, calcule o fluxo de F → através de S . F → x , y , z = x 2 y z i ^ + x y 2 z j ^ + x y z 2 k ^ , S é a su
Use o teorema do divergente para calcular a integral de superfície ∯ S F → ⋅ d S → ∯ ; ou seja, calcule o fluxo de F → através de S . F → x , y , z = z i ^ + y j ^ - z x k ^ , S é a superfície do tetr
Use o teorema do divergente para calcular a integral de superfície ∯ S F → ⋅ d S → ∯ ; ou seja, calcule o fluxo de F → através de S . F → = r → 2r → , onde r → = x i ^ + y j ^ + z k ^ , S é a esfera c