Enunciado

Use o Teorema da Divergência para calcular a integral superfície ∬ S F . d S , ou seja, calcule o fluxo de F através de S .

F x , y , z = x e y i + ( z - e y ) j - x y k

S é o elipsoide x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 = 4 .

Passo 1

Galera, o Teorema da Divergência ou Teorema de Gauss é o seguinte: se temos um região sólida E e seja S uma superfície que faz fronteira com E , orientada positivamente (para fora) e F é um mcapo vetorial cujas funções componentes tenham derivadas parciais contínuas em um região aberta que contenha E ,

∬ S F . d S = ∭ E d i v F   d V

Seja F = P i + Q j + R k . Então,

d i v F = ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z

Temos que nosso campo vetorial é dado por F = x e y i + ( z - e y ) j - x y k . Vamos calcular o divergente dele!

d i v F = e y - e y - 0 = 0

Passo 2

Vamos aplicar agora o Teorema da Divergência!

∬ S F . d S = ∭ E 0   d V

∬ S F . d S = 0

Resposta

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∬ S F . d S = 0

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