Enunciado

Use o Teorema da Divergencia para calcular a integral de superfície ∬ S F ⋅ d S ; ou seja, calcular o fluxo de F através de S .

F x , y , z = ( x 3 + y 3 ) i + y 3 + z 3 j + z 3 + x 3   k , S é a esfera com centro na origem e raio 2 .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Primeiro vamos delimitar uma região E que é delimitada por S

E = ρ , θ ,   ϕ :   0 ≤ ρ ≤ 2 ,   0 ≤ θ ≤ 2 π ,   0 ≤ ϕ ≤ π

Passo 2

Pelo teorema da divergência , temos que:

∬ S F d s = ∭ E d i v F d v

d i v   F → = 3 x 2 + 3 y 2 + 3 z 2

= 3 x 2 + y 2 + z 2

Passo 3

Resolvendo a integral, teremos:

∭ E d i v F d v = ∫ 0 π ∫ 0 2 π ∫ 0 2 3 ρ 2 ⋅ ρ 2 sen ⁡ ϕ d ρ d θ d ϕ

= 3 ∫ 0 π ∫ 0 2 π ∫ 0 2 3 ρ 4 sen ⁡ ϕ d ρ d θ d ϕ

= 3 ∫ 0 π sin ⁡ ϕ d ϕ ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 2 ρ 4 d ρ

= 3 - cos ⁡ ϕ 0 π θ 0 2 π ρ 5 5 0 2

= 3 - cos ⁡ π - - cos ⁡ 0 2 π - 0 32 5 - 0

= 3 - - 1 - - 1 2 π 32 5

∬ S F d s = ∭ E d i v F d v = 384 π 5

O Fluxo de F através de S será:

∬ S F d s = 384 π 5

Resposta

∬ S F d s = 384 π 5

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