Enunciado

Use o Teorema da Divergencia para calcular a integral de superfície ∬ S F ⋅ d S ; ou seja, calcular o fluxo de F através de S .

F x , y , z = z i + y j + z x   k , S é a superfície de um tetraedro limitado pelas coordenadas planas e pelo plano x a + y b + z c = 1 , onde a ,   b   e   c são números positivos.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Primeiro vamos delimitar uma região E que é delimitada por S :

S é a superfície do tetraedro delimitada pelos planos de coordenadas, que são x = 0 , y = 0 e z = 0 , e o plano z = c - c a x - c a y .

No plano x y , y é, no máximo y = b - b a x e no eixo x , x é no máximo, 1 .

Isso significa que x deve estar entre 0 e a , y deve estar entre 0 e b - b a x , z deve estar entre 0 e c - c a x - c b y , e E é o tetraedro descrito por:

E = x , y , z :   0 ≤ x ≤ a ,   0 ≤ y ≤ b - b a x ,   0 ≤ z ≤ c - c a x - c b y

Passo 2

Pelo teorema da divergência , temos que:

∬ S F d s = ∭ E d i v F d v

d i v   F → = 0 + 1 + x

= x + 1

Passo 3

Resolvendo a integral, teremos:

∭ E d i v F d v = ∫ 0 a ∫ 0 b - b a x ∫ 0 c - c a x - c b y 1 + x d z d y d x

= ∫ 0 a ∫ 0 b - b a x 1 + x z 0 c - c a x - c b y d y d x

= ∫ 0 a ∫ 0 b - b a x 1 + x c - c a x - c b y d y d x

= ∫ 0 a 1 + x c - c a x - c b y y 0 b - b a x d x

= ∫ 0 a 1 + x c - c a x - c b y b - b a x d x

Fazendo as multiplicações e reorganizando, você vai encontrar a seguinte expressão:

= ∫ 0 a b c 2 1 + x - b c a x + x 2 + b c 2 a 2 x 2 + x 3 d x

= b c 2 x + x 2 2 0 a - b c a x 2 2 + x 3 3 0 a + b c 2 a 2 x 3 3 + x 4 4 0 a

= b c 2 a + a 2 2 - b c a a 2 2 + a 3 3 + b c 2 a 2 a 3 3 + a 4 4

∬ S F d s = ∭ E d i v F d v = 1 24 a b c 4 + a

O Fluxo de F através de S será:

∬ S F d s = 1 24 a b c 4 + a

Resposta

∬ S F d s = 1 24 a b c 4 + a

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