Enunciado

Resolva o problema de valor inicial

4 y^(' ') - 20 y^' + 25 y = 0

y (0) = 2 , y^' (0) = - 3

Passo 1

Olá, tudo bem? Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes (pois todos os coeficientes são constantes kkk) e é homogênea, ou seja, o lado direito da equação é zero.

Passo 2

Com isso, vamos supor uma solução do tipo:

y (x) = A e^(k x)

O processo para determinar k é sempre o mesmo: derivar uma e depois duas vezes e substituir na equação. Vamos lá?

As derivadas:

y^' (x) = A k e^(k x)

y^(' ') (x) = A k^2 e^(k x)

Agora vamos substituir na equação diferencial:

4 k^2 A e^(k x) - 20 A e^(k x) + 25 A e^(k x) = 0

Dividindo essa equação por A e^(k t) temos:

4 k^2 - 20 k + 25 = 0

Essa é a famosa equação característica, responsável por determinar se a solução vai ser exponencial pura, um polinômio ou até mesmo uma solução oscilatória. Tudo isso depende das raízes dessa equação.

Passo 3

Para determinar essas raízes, vamos usar a (mais famosa ainda) fórmula de Bháskara:

k = (- ( - 20 ) +- sqrt(( - 20 )^2 - 4.4 . 25))/(2.4) = (20 +- sqrt(0))/(8)

Agora simplificando ao máximo temos:

k = (5)/(2)

Aqui temos duas raízes iguais, então a solução vai ser:

y (x) = c_1 e^(5 // 2 x) + c_2 x e^(5 // 2 x)

Show! Agora vamos aplicar as condições iniciais?

Passo 4

As duas condições de contorno são:

y (0) = 2

y^' (0) = - 3

A primeira condição de contorno nos diz que y (0) = 3 . Aplicando na solução do passo 3 temos:

y (0) = [c_1 e^0 + c_2 0 e^0] = 2

Como e^0 = 1 temos:

c_1 = 2

A segunda condição de contorno é sobre a derivada. Então, derivando a solução temos (vou usar aqui a regra do produto!!):

y^' = [c_1 ((5)/(2)) e^((5)/(2) x) + c_2 ((5)/(2)) x e^((5)/(2) x) + c_2 e^((5)/(2) x)]

A condição de contorno nos diz que y^' (0) = - 3 , então fazendo x = 0 temos:

[c_1 ((5)/(2)) e^0 + c_2 ((5)/(2)) 0 e^0 + c_2 e^0] = - 3

E simplificando temos:

(5)/(2) c_1 + c_2 = - 3

Mas sabemos que c_1 = 2 , então ficamos com uma expressão apenas para c_2 :

(5)/(2) c_1 + c_2 = - 3

(5)/(2) . 2 + c_2 = - 3

c_2 = - 3 - 5 = - 8

Agora temos como determinar por completo a solução:

y (x) = [2 e^(5 // 2 x) - 8 e^(5 // 2 x)]

Por enquanto é isso pessoal, espero ter ajudado ;)

Beleza?

Vamos pra próxima?

Resposta

y (x) = [2 e^(5 // 2 x) - 8 e^(5 // 2 x)]

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