Enunciado

Em quais pontos a hélice r (t) = 〈s e n t , cos t , t〉 intercepta a esfera x^2 + y^2 + z^2 = 5 ?

Passo 1

Galera, temos que descobrir os pontos de intersecção da curva paramétrica com a esfera, beleza? Pra isso, vamos começar igualando as variáveis assim:

x = x (t) = s e n t

y = y (t) = cos t

z = z (t) = t

Passo 2

Agora, vejamos para quais valores de t , a equação da esfera é satisfeita:

x^2 + y^2 + z^2 = 5

s e n^2 t + cos^2 t + t^2 = 5

1 + t^2 = 5

t^2 = 4

t = - 2 o u t = 2

Passo 3

Show! Tendo os valores de t , é só calcular os valores de x , y e z correspondentes:

x (- 2) = s e n (- 2) = - s e n 2

y (- 2) = cos (- 2) = cos 2

z (- 2) = - 2

x (2) = s e n 2

y (2) = cos 2

z (2) = 2

Então os pontos de intersecção são: (- s e n 2 , cos 2 , - 2) e ( s e n 2 , cos 2 , 2 ) .

Resposta

(- s e n 2 , cos 2 , - 2) e ( s e n 2 , cos 2 , 2 )

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine o comprimento da curva dada. r t = 2 t , t 2 ⁡ , 1 3 t 3,0 ≤ t ≤ 1
Mostre que o plano osculador em cada ponto da curva r t = t + 2,1 - t , 1 2 t ² ² é o mesmo plano. O que você pode concluir sobre a curva?
Utilize um computador para traçar a curva da equação vetorial dada. Escolha o domínio do parâmetro e ponto de vista de forma a revelar a verdadeira natureza da curva. r t =c o s 2 t , c o s 3 t , c o
Trace a curva com equações paramétricas x = s e n t , y = s e n 2 t , z = c o s 4 t . Explique sua forma representando por gráficos suas projeções para os três planos coordenados.
Combine as equações paramétricas com os gráficos (rótulo I-VI). Dê razões para suas escolhas: x = cos ⁡ t , y = sin ⁡ t , z = 1 ( 1 + t 2 )