Enunciado

Use o Teorema da Estimativa de Séries Alternadas ou a Desigualdade de Taylor para estimar a gama de valores de x para os quais a aproximação dada tem precisão dentro do erro estabelecido. Verifique sua resposta graficamente.

cos ⁡ x ≈ 1 - x 2 2 + x 4 24 ,                     ( e r r o < 0,0 05 )

Passo 1

Para essa questão, é mais simples usar o Teorema da Estimativa de Séries Alternadas que diz que se

f x = ∑ - 1 n b n

Então

R n x = f x - s n ≤ b n + 1

Mas o que isso quer dizer? Se tivermos uma série alternada, o erro de uma estimativa é menor que o próximo termo da série em módulo.

Passo 2

Então temos que se aproximarmos

cos ⁡ x ≈ 1 - x 2 2 + x 4 24

O nosso erro é menor que o próximo termo da série de Maclaurin do cosseno em módulo que seria x 6 / 6 !

R n x ≤ x 6 720

Passo 3

Se queremos um erro menor que 0,0 05 , podemos dizer que

0,0 05 ≤ x 6 720

Isolando o x

x 6 ≥ 7 20 ⋅ 0,0 05

x 6 ≥ 3,6

x ≥ 3,6 1 / 6

x ≥ 1,2 3 799 …

Passo 4

Olhando graficamente

Temos em vermelho o polinômio e em preto ( cos ⁡ x + 0,0 05 ) e ( cos ⁡ x - 0,0 05 ) , que são as margens de erro aceitáveis e o polinômio encontra o limite em x = 1 , 2437 , então os valores da nossa estimativa estão dentro da margem de erro. Como a função é simétrica, o limite inferior do intervalo vai ser x = - 1,2437 .

Resposta

x ≥ 1,2 3 799 …

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