Enunciado

  1. Aproxime f por um polinômio de Taylor com grau n em a .
  2. Use a desigualdade de Taylor para estimar a precisão da aproximação f x ≈ T n ( x ) quando x estiver no intervalo dado.
  3. Verifique seu resultado na parte (b) traçando R n x

f x = e x 2 ,                     a = 0 ,                     n = 3 ,                     0 ≤ x ≤ 0,1

Passo 1

  1. Primeiramente, para encontrar os polinômios de Taylor vamos usar o formato da série de Taylor é
  2. ∑ n = 0 ∞ f n ( a ) n ! x - a n

    Para n = 3 precisaremos até a terceira derivada, então derivando e substituindo no centro x = 0

    f = e x 2 ⇒ f 0 = 1

    f ' = 2 x e x 2 ⇒ f ' 0 = 0

    f ' ' = 2 e x 2 + 4 x 2 e x 2 = e x 2 ( 2 + 4 x 2 ) ⇒ f ' ' 0 = 2

    f ' ' ' x = e x 2 2 x 2 + 4 x 2 + e x 2 8 x = e x 2 ( 12 x + 8 x 3 ) ⇒ f ' ' ' 0 = 0

    Então nosso polinômio é

    T 3 = 1 + 2 2 ! x 2

    T 3 = 1 + x 2

    Passo 2

  3. Para usar a desigualdade de Taylor temos a seguinte relação, se f n + 1 ( x ) ≤ M , então
  4. R n x < M n + 1 ! x - a n + 1

    Então para estimar o erro, vamos precisar primeiramente da quarta derivada

    f ' ' ' ' x = e x 2 2 x 12 x + 8 x 3 + e x 2 ( 12 + 24 x 2 )

    = e x 2 12 + 48 x 2 + 16 x 4

    Agora precisamos de um valor M que seja maior que essa função em todo o intervalo 0 ≤ x ≤ 0,1 , para isso podemos analisar o seguinte, em todo o intervalo a função de f ' ' ' ' x está crescente, então para pegarmos o maior valor da função, precisamos do maior valor do intervalo ( 0,1 ) e substituirmos, podemos dizer que

    f ' ' ' ' x ≤ f ' ' ' ' 0,1 ,                     x ∈ [ 0,0.1 ]

    Então podemos usar

    M = f ' ' ' ' 0,1 = e ( 0,1 ) 2 12 + 48 ( 0,1 ) 2 + 16 ( 0,1 ) 4 = 12,60704 …

    Passo 3

    Temos então que

    R 3 x ≤ 12,60704 … 4 ! x 4

    Agora precisamos do valor de x 4 , no intervalo 0 ≤ x ≤ 0,1 podemos colocar em módulo

    x ≤ 0,1

    Elevando a quarta potencia

    x 4 ≤ 0,0001

    Logo

    R 3 x ≤ 12,60704 … 4 ! 0,0001

    R 3 x ≤ 0,00005 … = 5 × 10 - 5

    Passo 4

  5. Traçando o gráfico de | R n | , para achar a função R n vamos usar a definição que diz

R n = f x - T n

R 3 = e x 2 - T 3

R 3 = e x 2 - 1 + x 2

R 3 = | e x 2 - 1 + x 2 |

No plano

Resposta

  1. T 3 = 1 + x 2
  2. R 3 x ≤ 5 × 10 - 5
  3. y = | R 3 ( x ) |

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Use uma série de Maclaurin derivada nesta seção para obter a série de Maclaurin para a função dada . f x = sen ⁡ x x , x ≠ 0 1 , x = 0
Avalie a integral indefinida como uma série infinita. ∫ sen ⁡ x x d x
Use uma série de Maclaurin derivada nesta seção para obter a série de Maclaurin para a função dada . f x = sen ⁡ x 4
Use uma série de Maclaurin derivada nesta seção para obter a série de Maclaurin para a função dada . f x = x 2 e - x
Encontre a série de Maclaurin f (por qualquer método), e seu raio de convergência. Plote f e seus primeiros polinômios na mesma tela. O que você observa sobre a relação entre esses polinômios e f ? f