Enunciado

Use o Teorema da Estimativa de Séries Alternadas ou a Desigualdade de Taylor para estimar a gama de valores de x para os quais a aproximação dada tem precisão dentro do erro estabelecido. Verifique sua resposta graficamente.

sen ⁡ x ≈ x - x 3 6 ,                     ( e r r o < 0,01 )

Passo 1

Para essa questão, é mais simples usar o Teorema da Estimativa de Séries Alternadas que diz que se

f x = ∑ - 1 n b n

Então

R n x = f x - s n ≤ b n + 1

Mas o que isso quer dizer? Se tivermos uma série alternada, o erro de uma estimativa é menor que o próximo termo da série em módulo, porque b n desconsidera o sinal de - 1 n .

Passo 2

Então temos que se aproximarmos

sen ⁡ x ≈ x - x 3 6

O nosso erro é menor que o próximo termo da série de Maclaurin do seno em módulo que seria x 5 / 5 !

R n x ≤ x 5 120

Passo 3

Se queremos um erro menor que 0,01 , podemos dizer que

0,01 ≤ x 5 120

Isolando o x

x 5 ≥ 120 ⋅ 0,01

| x 5 | ≥ 1,2

x ≥ 1,2 1 5

x ≥ 1,0371 …

Passo 4

Olhando graficamente

Temos em vermelho o polinômio e em preto ( sen ⁡ x + 0,01 ) e ( sen ⁡ x - 0,01 ) , que são as margens de erro aceitáveis e o polinômio encontra o limite em x = 1,0425 , então os valores da nossa estimativa estão dentro da margem de erro. Como a função é simétrica, o limite inferior do intervalo vai ser x = - 1,0425

Resposta

x ≥ 1,0371

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Use a série binomial para expandir 1 / 1 - x 2 Use a parte (a) para encontrar a série de Maclaurin de sen - 1 ⁡ x .
Expanda 1 / 1 + x 4 como uma série de potências.Utilize a parte (a) para estimar 1 / 1 , 1 4 com precisão de três casas decimais.
Calcule a integral indefinida como uma série infinita.
Encontre o polinômio de Taylor T 3 ( x ) da função f em a . Trace f e T 3 na mesma tela. f x = x e - 2 x , a = 0
Encontre o polinômio de Taylor T 3 ( x ) da função f em a . Trace f e T 3 na mesma tela. f x = e - x sen ⁡ x , a = 0